如下圖所示之齒輪系，齒輪均為模數2.5 mm、壓力角20度之標準正齒輪。小齒輪之齒數為20齒、轉速1750 rpm，小齒輪傳遞2.5 kW予50齒的惰輪3，然後再傳遞予30齒的齒輪4。 (1)請繪出齒輪3的受力自由體圖。 (2)請計算出齒輪3軸心b之受力大小。

本題為計算題，無選項，以下提供完整解題過程。 【基本參數】 - 模數 m = 2.5 mm - 壓力角 φ = 20° - 小齒輪(齒輪2)：齒數 N₂ = 20，轉速 n₂ = 1750 rpm - 惰輪(齒輪3)：齒數 N₃ = 50 - 齒輪4：齒數 N₄ = 30 - 傳遞功率 P = 2.5 kW 【節圓半徑】 - r₂ = m×N₂/2 = 2.5×20/2 = 25 mm = 0.025 m - r₃ = m×N₃/2 = 2.5×50/2 = 62.5 mm = 0.0625 m - r₄ = m×N₄/2 = 2.5×30/2 = 37.5 mm = 0.0375 m 【小齒輪轉矩與切線力】 - 小齒輪角速度 ω₂ = 2π×1750/60 = 183.26 rad/s - 小齒輪轉矩 T₂ = P/ω₂ = 2500/183.26 = 13.64 N·m - 齒輪2作用於齒輪3之切線力(嚙合點在齒輪3下方)： Wt₂₃ = T₂/r₂ = 13.64/0.025 = 545.4 N - 徑向力 Wr₂₃ = Wt₂₃ × tan(20°) = 545.4 × 0.364 = 198.5 N 【惰輪3的轉矩與切線力(傳遞給齒輪4)】 - 由於功率相同(忽略損耗)，齒輪3傳給齒輪4的切線力: Wt₃₄ = T₃/r₃，其中 T₃ = Wt₂₃ × r₃ = 545.4 × 0.0625 = 34.09 N·m Wt₃₄ = T₃/r₃ = 34.09/0.0625 = 545.4 N（切線力相同，因嚙合力等值反向） 驗證：Wt₃₄ = T₃/r₃ = 34.09/0.0625 = 545.4 N ✓ - 徑向力 Wr₃₄ = Wt₃₄ × tan(20°) = 545.4 × 0.364 = 198.5 N 【自由體圖說明（第一小題）】 由圖可知： - 齒輪2(20T,標記a)在齒輪3正下方嚙合 → 作用在齒輪3的合力W₂₃方向：沿壓力線(向左上)，切線分量朝上(+y)，徑向分量朝右(+x，推齒輪3向左方向修正：齒輪2在下，嚙合力切線向+y，徑向沿中心連線向+x) 實際：齒輪2在齒輪3正下方，兩中心連線為垂直(y軸方向)，切線力水平(x方向)，徑向力沿中心連線(y方向向上)。 → Wt₂₃ 方向：水平(+x 或 −x，依旋轉方向) → Wr₂₃ 方向：垂直向上(+y) - 齒輪4(30T,標記c)在齒輪3左方嚙合 → 兩中心連線為水平(x軸方向)，切線力垂直(y方向)，徑向力水平向右(+x) → Wt₃₄ 方向：垂直(+y 或 −y) → Wr₃₄ 方向：水平向右(+x) 【由圖確認幾何關係】 圖中：齒輪3(b)位於中心，齒輪2(a，20T)在齒輪3正右下方(沿x軸，標示x方向)，齒輪4(c，30T)在齒輪3左方。 重新確認： - 齒輪2(a)位於齒輪3(b)的右下方，x軸正方向，兩者中心連線沿x軸 → 切線力沿y方向，徑向力沿x方向 - 齒輪4(c)位於齒輪3(b)的左方，兩者中心連線沿x軸(負x方向) → 切線力沿y方向，徑向力沿x方向(向右，指向b) 【軸心b受力計算（第二小題）】 設小齒輪順時針旋轉，帶動惰輪3逆時針，再帶動齒輪4順時針。 來自齒輪2作用在齒輪3的力（嚙合點在b右側，沿x軸）： - 切線力：Wt₂₃ = 545.4 N（方向：+y，因惰輪3逆時針，切線力在嚙合點向上） → 實際方向需由齒輪旋轉方向決定，取 +y - 徑向力：Wr₂₃ = 198.5 N（方向：−x，指向齒輪2即向右修正：齒輪2在右方，徑向力朝向b中心，即 −x 方向，推齒輪3向左... 修正：徑向力由接觸點指向受力齒輪圓心，即從右側嚙合點指向b，方向 −x） → Wr₂₃ = 198.5 N，方向 −x（向左） 來自齒輪4作用在齒輪3的力（嚙合點在b左側，沿x軸負方向）： - 切線力：Wt₃₄ = 545.4 N（方向：−y，齒輪3逆時針，在左側嚙合點切線向下） - 徑向力：Wr₃₄ = 198.5 N（方向：+x，從左側嚙合點指向b，方向 +x） 各方向合力： - ΣFx = −Wr₂₃ + Wr₃₄ = −198.5 + 198.5 = 0 N - ΣFy = Wt₂₃ − Wt₃₄ = 545.4 − 545.4 = 0 N ⚠️ 此結果為零，需重新確認方向。惰輪兩側切線力方向相同（同向），而非相反。 【修正分析】 惰輪3從齒輪2接受動力(被齒輪2驅動)，同時驅動齒輪4： - 齒輪2驅動齒輪3：對齒輪3的切線力方向 = 使齒輪3旋轉的方向 - 齒輪3驅動齒輪4：齒輪4對齒輪3的反作用切線力 = 阻礙齒輪3旋轉的方向 → 兩個切線力對齒輪3而言，一個順旋轉、一個逆旋轉，力矩相抵（惰輪等速） → 但兩個切線力在空間方向上： - 嚙合點在右(齒輪2)：切線力在+y方向（逆時針旋轉，右側切線向上） - 嚙合點在左(齒輪4)：切線力也在+y方向（逆時針旋轉，左側切線向下） 修正：逆時針旋轉時，右側切線向上(+y)，左側切線也向下(−y)... → 右側嚙合點速度向上(+y)，左側嚙合點速度向下(−y) → 齒輪2對齒輪3的切線力（驅動力）：+y方向，Wt = 545.4 N → 齒輪4對齒輪3的反作用切線力（阻力）：+y方向（阻礙左側點向下運動，即向上） → 兩切線力同向！ΣFy = 545.4 + 545.4 = 1090.8 N (向上) → 徑向力：Wr₂₃ 向左(−x) = −198.5，Wr₃₄ 向右(+x) = +198.5，ΣFx = 0 【軸心b最終受力】 Rb = √(ΣFx² + ΣFy²) = √(0² + 1090.8²) = 1090.8 N ≈ 1091 N