假設某消費者擁有 $m$ 的所得，並購買兩種商品 $x$ 和 $y$ ，且其效用函數為 $\mathbf{u}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^{\alpha}\mathbf{y}^{1 - \alpha}$ 。若兩商品的價格分別為 $p_x$ 和 $p_y$ ，則該消費者為了達成效用的極大，在預算限制之下，應該購買 ① 數量的 $x$ 商品和 ② 數量的 $y$ 商品，下列選項何者正確？

經濟部所屬事業機政府採購法規、經濟學103 年第 31 題單選題

假設某消費者擁有 $m$ 的所得，並購買兩種商品 $x$ 和 $y$ ，且其效用函數為 $u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}$ 。若兩商品的價格分別為 $p_{x}$ 和 $p_{y}$ ，則該消費者為了達成效用的極大，在預算限制之下，應該購買 ① 數量的 $x$ 商品和 ② 數量的 $y$ 商品，下列選項何者正確？

A① $\frac{\alpha m}{\alpha p_x + (1 - \alpha)p_y}$ ; ② $\frac{(1 - \alpha)m}{\alpha p_x + (1 - \alpha)p_y}$

B① $\frac{m}{\alpha p_x}$ ; ② $\frac{m}{(1 - \alpha)p_y}$

C① $\frac{\alpha m}{p_x + p_y}$ ; ② $\frac{(1 - \alpha)m}{p_x + p_y}$

D① $\frac{\alpha m}{p_x}$ ; ② $\frac{(1 - \alpha)m}{p_y}$正確答案

答案與詳解

正確答案

Cobb-Douglas 效用函數的最適解為固定份額法則：x 花費 αm，y 花費 (1-α)m，再除以各自價格即得數量。

完全符合 Cobb-Douglas 效用極大化的標準解。指數 α 代表 x 的預算份額，故 x 的支出為 αm，除以 px 得數量；同理 y 的支出為 (1-α)m，除以 py 得數量。此為經濟學必考公式。

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