x³ + y³ = z³ 的正整數解有幾個？
A0正確答案
B1
C3
D∞
答案與詳解
A
正確答案
本題考查費馬最後定理，當指數 n 大於 2 時，x^n + y^n = z^n 沒有正整數解，故 n=3 時解為 0。
為什麼答案是 A
根據費馬最後定理，當指數 n 大於 2 時無正整數解，故 n=3 時解的數量為 0。
考點：費馬最後定理考點：畢氏定理混淆
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 本題考查費馬最後定理，當指數 n 大於 2 時，x^n + y^n = z^n 沒有正整數解，故 n=3 時解為 0。
秒殺技巧
看到 x³ + y³ = z³ 直接聯想「費馬最後定理」，只要指數大於 2 就無正整數解，秒選 0。逐選項分析
A費馬最後定理✓ 正確
根據費馬最後定理，當指數 n 大於 2 時無正整數解，故 n=3 時解的數量為 0。
B費馬最後定理✕
n=3 時不存在任何一組正整數解，因此不可能只有 1 組解。
C費馬最後定理✕
n=3 時不存在任何一組正整數解，因此不可能有 3 組解。
D畢氏定理混淆✕ 陷阱
這是 n=1 或 n=2 (畢氏定理) 的情況，考生容易混淆而誤選無限多組解。
冪次方程正整數解對比
| 方程式 | 指數 n | 正整數解數量 | 對應定理/名稱 |
|---|---|---|---|
| x + y = z | 1 | 無限多組 | 基本加法 |
| x² + y² = z² | 2 | 無限多組 | 畢氏定理 |
| x³ + y³ = z³ | 3 | 0 (無解) | 費馬最後定理 |
| x^n + y^n = z^n | n > 2 | 0 (無解) | 費馬最後定理 |
陷阱提醒
考生易將 n=2 的畢氏定理（有無限多組解如 3,4,5）直覺套用到 n=3 的情況，誤以為也有解或無限多解，忽略了費馬最後定理中 n>2 無解的嚴格限制。