下列何者為微分方程式 x²y″ + xy′ + (x² − 1/9)y = 0 的解？其中 C₁ 及 C₂ 為任意常數，J_ν(x) 及 Y_ν(x) 分別為第一類型及第二類型之 ν 階 Bessel 函數。

Question

下列何者為微分方程式 x²y″ + xy′ + (x² − 1/9)y = 0 的解？其中 C₁ 及 C₂ 為任意常數，J_ν(x) 及 Y_ν(x) 分別為第一類型及第二類型之 ν 階 Bessel 函數。
(A) $C_1 J_1(\frac{x}{3}) + C_2 Y_1(\frac{x}{3})$
(B) $C_1 J_{\frac{1}{3}}(x) + C_2 Y_{\frac{1}{3}}(x)$
(C) $C_1 J_1(x - \frac{1}{3}) + C_2 Y_1(x - \frac{1}{3})$
(D) $C_1 J_{\frac{1}{3}}(x - \frac{1}{3}) + C_2 Y_{\frac{1}{3}}(x - \frac{1}{3})$

Accepted Answer

正確答案為 B。 本題考查貝索(Bessel)方程式標準形式，比對係數可得階數為1/3，直接寫出通解。 (A) 【貝索方程式】將階數誤認為1，且錯誤地將自變數替換為 $x/3$，不符合原微分方程式的標準形式。 (B) 【貝索方程式】比對標準形式可得 $
u^2=1/9$，故 $
u=1/3$，自變數為 $x$，通解即為兩類貝索函數的線性組合。

下列何者為微分方程式 $x^{2} y^{''} + x y^{'} + (x^{2} - \frac{1}{9}) y = 0$ 的解？其中 $C_{1}$ 及 $C_{2}$ 為任意常數， $J_{ν} (x)$ 及 $Y_{ν} (x)$ 分別為第一類型及第二類型之 $ν$ 階 Bessel 函數。

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下列何者為微分方程式 x2y′′+xy′+(x2−91​)y=0 的解？其中 C1​ 及 C2​ 為任意常數，Jν​(x) 及 Yν​(x) 分別為第一類型及第二類型之 ν 階 Bessel 函數。

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