級數$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}(z-3i)^{n}$之收斂半徑$R$之值為何？（其中$i=\sqrt{-1}$）

Question

級數$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}(z-3i)^{n}$之收斂半徑$R$之值為何？（其中$i=\sqrt{-1}$）
(A) 1/4
(B) 1/2
(C) 3/4
(D) 4

Accepted Answer

正確答案為 A。 以 $z_0=3i$ 為中心的冪級數，係數 $a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{2n}{n}$。比值法得 $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}	o 4$，而此極限等於 $\frac{1}{R}$，取倒數得 $R=\frac{1}{4}$，選 (A)。 (B) 本題最大陷阱，兩種錯法都會掉進來：(1) 約分時把 $(2n+2)$ 誤當成 $(n+1)$，漏掉因子 $2$，極限算成 $2$ 而得 $R=\frac{1}{2}$；(2) 把指數誤看成 $(z-3i)^{2n}$，令 $w=(z-3i)^2$ 得 $|w|<\frac{1}{4}$，開根號後變成 $|z-3i|<\frac{1}{2}$。本題指數是 $n$ 不是 $2n$，動筆前先把指數看清楚。 (C) 被中心的$3$牽著走，把 $3i$ 的座標湊進半徑拼出 $\frac{3}{4}$。收斂半徑只由係數 $a_n$ 決定，與中心 $z_0$ 的位置完全無關——中心只決定收斂圓畫在複數平面的哪裡，不決定它多大。

級數 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} (z - 3 i)^{n}$ 之收斂半徑 $R$ 之值為何？（其中 $i = - 1$ ）

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