若A為一向量，f為一純量，則下列敘述何者錯誤？ (A) ∇·(∇×A) = 0 (B) ∇×(∇f) = 0 (C) ∇·(fA) = f∇·A + A·∇f (D) ∇×(fA) = f∇×A + A×∇f

正確答案為 D。選項D的向量恆等式錯誤，正確應為∇×(fA)=f∇×A+∇f×A，而非A×∇f。 (A) 旋度的散度恆為零，即∇·(∇×A)=0，此為向量微積分基本恆等式，敘述正確。 (B) 梯度的旋度恆為零，即∇×(∇f)=0，此為向量微積分基本恆等式，敘述正確。

公務人員特種考試關務人員工程數學104 年第 3 題單選題

若 $A$ 為一向量， $f$ 為一純量，則下列敘述何者錯誤？

\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0

\nabla \times (\nabla f) = 0

\nabla \cdot (f A) = f \nabla \cdot A + A \cdot \nabla f

\nabla \times (f A) = f \nabla \times A + A \times \nabla f

正確答案

答案與詳解

正確答案

選項D的向量恆等式錯誤，正確應為∇×(fA)=f∇×A+∇f×A，而非A×∇f。

A∇·(∇×A) = 0✕ 錯誤

旋度的散度恆為零，即∇·(∇×A)=0，此為向量微積分基本恆等式，敘述正確。

B∇×(∇f) = 0✕ 錯誤

梯度的旋度恆為零，即∇×(∇f)=0，此為向量微積分基本恆等式，敘述正確。

C∇·(fA) = f∇·A + A·∇f✕ 錯誤

D∇×(fA) = f∇×A + A×∇f✓ 正確

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