已知隨機變數Z = 3X − 2Y − 3的變異數（variance）為54，其中X的變異數為σ²ₓ = 2，且X與Y的共變異數（covariance）為σₓᵧ = −2，則隨機變數Y的變異數σ²ᵧ為何？

Question

已知隨機變數Z = 3X − 2Y − 3的變異數（variance）為54，其中X的變異數為σ²ₓ = 2，且X與Y的共變異數（covariance）為σₓᵧ = −2，則隨機變數Y的變異數σ²ᵧ為何？
(A) 7
(B) 5
(C) 3
(D) 1

Accepted Answer

正確答案為 C。 利用變異數線性組合公式 Var(aX+bY+c)=a²Var(X)+b²Var(Y)+2abCov(X,Y) 代入已知數值求解 σ²_Y=3。 (A) 若 σ²_Y=7，則 Var(Z)=18+28+24=70≠54，與題目條件不符。 (B) 若 σ²_Y=5，則 Var(Z)=18+20+24=62≠54；可能誤將共變異數項符號搞錯所致。

已知隨機變數 $Z = 3 X - 2 Y - 3$ 的變異數（variance）為 $54$ ，其中 $X$ 的變異數為 $σ_{X}^{2} = 2$ ，且 $X$ 與 $Y$ 的共變異數（covariance）為 $σ_{X Y} = - 2$ ，則隨機變數 $Y$ 的變異數 $σ_{Y}^{2}$ 為何？

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已知隨機變數 Z=3X−2Y−3 的變異數（variance）為 54，其中 X 的變異數為 σX2​=2，且 X 與 Y 的共變異數（covariance）為 σXY​=−2，則隨機變數 Y 的變異數 σY2​ 為何？

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