下列各組函數，何者不為線性獨立（linearly independent）？ (A) eˣ、e⁻ˣ、e²ˣ，x∈ℝ (B) ln x、ln x²、ln x³，x > 0 (C) 1、x、x²，x∈ℝ (D) 1、cos x、sin x，x∈ℝ

公務人員特種考試關務人員工程數學113 年第 12 題單選題

下列各組函數，何者不為線性獨立（linearly independent）？

e^{x}

、

e^{- x}

、

e^{2 x}

，

x \in R

ln x

、

ln x^{2}

、

ln x^{3}

，

x > 0

正確答案

1

、

x

、

x^{2}

，

x \in R

1

、

cos x

、

sin x

，

x \in R

答案與詳解

正確答案

判斷線性獨立性：選項B中ln x、ln x²、ln x³可互相線性組合為零，故不為線性獨立。

逐選項解析

Aeˣ、e⁻ˣ、e²ˣ，x∈ℝ✕ 錯誤

e^x、e^{-x}、e^{2x} 為不同指數函數，其 Wronskian 不為零，三者線性獨立。

Bln x、ln x²、ln x³，x > 0✓ 正確

C1、x、x²，x∈ℝ✕ 錯誤

1、x、x² 為多項式基底，次數各異，Wronskian 不為零，三者線性獨立。

D1、cos x、sin x，x∈ℝ✕ 錯誤

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