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公務人員特種考試關務人員工程數學113 年第 11 題單選題

若使 $(4 x^{2} y - 3 x y^{2}) d x + (x^{3} - 2 x^{2} y) d y = 0$ 為正合（exact）的積分因子為 $x^{m} y^{n}$ ，其中 $m$ 與 $n$ 皆為實數，則 $m + n$ 之值為何？

A

- 2

B

- 1

C

1

正確答案

D

2

答案與詳解

C

正確答案

將積分因子

x^{m} y^{n}

乘入原式，利用正合條件

M_{y} = N_{x}

比較係數，解得

m = 1, n = 0

，故

m + n = 1

。

逐選項解析

A−2✕ 錯誤

若 $m+n=-2$，代入正合條件後無法使 $M_y=N_x$ 的所有同次項係數同時成立，故非正確答案。

B−1✕ 易錯陷阱

若僅考慮部分項的係數匹配或計算偏微分時出錯，可能誤得 $m+n=-1$，但無法使所有項同時滿足正合條件，屬常見計算疏漏。

C1✓ 正確

D2✕ 錯誤

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