下列複變函數何者不滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equation）而為不可解析函數（極點除外）？（其中 ，）
A
B正確答案
C
D
答案與詳解
逐選項解析
Af(z) = e^(cos(x))sin(y)−ie^(cos(x))cos(y)✕ 錯誤
考選部原卷此選項為 f(z)=e^(−x)cos(y)−i·e^(−x)sin(y)，整理後等於 e^(−x)(cos y − i sin y)=e^(−(x+iy))=e^(−z)。令 u=e^(−x)cos y、v=−e^(−x)sin y，可得 u_x=−e^(−x)cos y=v_y、u_y=−e^(−x)sin y=−v_x，完全滿足柯西-黎曼方程式，是整個複數平面上的解析（整）函數，因此不是本題要挑的答案。
Bf(z) = Re(z²)−i·Im(z²)✓ 正確
z²=(x²−y²)+i(2xy)，故 Re(z²)−i·Im(z²)=(x²−y²)−i(2xy)，正是 z² 的共軛。令 u=x²−y²、v=−2xy，則 u_x=2x 而 v_y=−2x，只有在 x=0 時才相等，並非在區域內處處成立，故不滿足柯西-黎曼方程式，為不可解析函數，是本題答案。
Cf(z) = 3z(z−4z²)✕ 錯誤
Df(z) = sin(x)cosh(y)−i·cos(x)sinh(y)✕ 錯誤
