複變函數f(z) = 1/((z−1)(z−2))，針對區域1

Question

複變函數f(z) = 1/((z−1)(z−2))，針對區域1 < |z| < 2對函數f(z)展開可得f(z) = az⁻¹ + bz⁻² + c + dz + ⋯，其中a,b,c,d為實常數，則下列何者正確？
(A) a = 1
(B) b = −1
(C) c = 1/2
(D) d = 1/4

Accepted Answer

正確答案為 B。 將f(z)在環域1<|z|<2展開為Laurent級數，分別對1/(z-1)與1/(z-2)展開後合併，可得b=-1為正確答案。 (A) 【Laurent展開係數】f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。在1<|z|<2時，-1/(z-1)=-1/z·1/(1-1/z)=-Σz^{-n-1}，z^{-1}項係數為-1；1/(z-2)=-1/2·1/(1-z/2)展開無z^{-1}項。故a=-1，非1。 (B) 【Laurent展開係數】z^{-2}項僅來自-1/(z-1)的展開：-1/z·Σ(1/z)^n中n=1時得-z^{-2}，係數為-1。1/(z-2)展開為正冪級數無z^{-2}項。故b=-1正確。

複變函數 $f (z) = \frac{1}{( z - 1 ) ( z - 2 )}$ ，針對區域 $1 < ∣ z ∣ < 2$ 對函數 $f (z)$ 展開可得 $f (z) = a z^{- 1} + b z^{- 2} + c + d z + \dots$ ，其中 $a, b, c, d$ 為實常數，則下列何者正確？

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