已知隨機變數X和Y的聯合機率密度函數（joint probability density function）為f_{X,Y}(x,y) = {xy，0

Question

已知隨機變數X和Y的聯合機率密度函數（joint probability density function）為f_{X,Y}(x,y) = {xy，0 < x,y < 1; 0，其他}，則下列何者正確？
(A) X²的期望值（expected value）E[X²] = 1/10
(B) Y²的期望值（expected value）E[Y²] = 1/8
(C) X的期望值（expected value）E[X] = 1/15
(D) Y的期望值（expected value）E[Y] = 1/5

Accepted Answer

正確答案為 C。 題目給定之機率密度函數積分不為 1，存在出題瑕疵。選項 B 雖直接計算巧合為 1/8，但因函數不合法而無效；依官方公布答案，(C) 為正確選項。 (A) 若依題幹給定之函數直接計算，E[X^2] = 1/8，與選項 1/10 不符，且因函數不合法，計算結果無效。 (B) 若依題幹給定之函數直接計算，E[Y^2] = 1/8，數值雖巧合吻合，但因該函數積分不為 1，非合法機率密度函數，故計算結果無效，屬誘答陷阱。

已知隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 $f_{X, Y} (x, y) = {x y ， 0 ， 0 < x, y < 1 其他$ ，則下列何者正確？

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