∂²u(x,t)/∂t² = c² ∂²u(x,t)/∂x² 滿足下列那種性質？其中c 為實常數：

Question

∂²u(x,t)/∂t² = c² ∂²u(x,t)/∂x² 滿足下列那種性質？其中c 為實常數：
(A) 拋物線型
(B) 橢圓型
(C) 熱傳導方程式
(D) 波動方程式

Accepted Answer

正確答案為 D。 時間與空間都是二階偏導數、移項後兩項係數又異號的 ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，正是一維波動方程式；其判別式 B²−4AC = 4c² 大於零，屬雙曲線型。 (A) 拋物線型的判別式等於零，代表式是時間僅一階的 u_t = k·u_xx。將 ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² 移項為 u_tt − c²u_xx = 0，取 A = −c²、B = 0、C = 1，判別式 B²−4AC = 4c²，在 c 為非零實常數時大於零，不屬拋物線型。 (B) 橢圓型的判別式小於零，典型是拉普拉斯方程式 u_xx + u_yy = 0（兩個二階項同號）。此式判別式 4c² 不可能為負，故非橢圓型。

∂²u(x,t)/∂t² = c² ∂²u(x,t)/∂x² 滿足下列那種性質？其中c 為實常數：

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