若已知方程式 $x^{2}+4x+2y^{2}-4y+4+k=0$ 的圖形為橢圓，則 k 的範圍為何？ (A) k 2 (C) k 4

正確答案為 A。將方程式配方後，等號右側的常數必須大於零才能形成橢圓，由此解出 k 的範圍。 (A) 配方後得到 $(x+2)^2 + 2(y-1)^2 = 2-k$，因為圖形為橢圓，故 $2-k>0$，解得 $k 2$，則 $2-k<0$，方程式無實數解，圖形為虛橢圓（無圖形）。

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普通／共同科目105 年第 44 題單選題

若已知方程式 $x^{2} + 4 x + 2 y^{2} - 4 y + 4 + k = 0$ 的圖形為橢圓，則 k 的範圍為何？

Ak<2正確答案

Bk>2

Ck<4

Dk>4

答案與詳解

正確答案

將方程式配方後，等號右側的常數必須大於零才能形成橢圓，由此解出 k 的範圍。

Ak<2✓ 正確

配方後得到 $(x+2)^2 + 2(y-1)^2 = 2-k$，因為圖形為橢圓，故 $2-k>0$，解得 $k<2$。

Bk>2✕ 錯誤

若 $k>2$，則 $2-k<0$，方程式無實數解，圖形為虛橢圓（無圖形）。

Ck<4✕ 易錯陷阱

Dk>4✕ 錯誤

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