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公務人員特種考試關務人員工程數學112 年第 5 題單選題考點：分量誤用考點：正交投影距離

$S = span ((1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1))$ 為 $R^{4}$ 的子空間，則向量 $u = (1, 1, 3, 5)$ 和 $S$ 的最短距離為何？

A

5

B

10

正確答案

C

3

D

2

答案與詳解

B

正確答案

求向量 u 到子空間 S 的最短距離，即求 u 在 S 正交補空間上的投影長度，答案為 √10。

逐選項解析

A5分量誤用✕ 錯誤

5 是 u 的第四個分量值，並非 u 到 S 的最短距離，屬數值誤導。

B√10正交投影距離✓ 正確

S=span(e1,e4)，u 在 S 上的正交投影為 (1,0,0,5)，殘差 u−proj=(0,1,3,0)，距離=√(1+9)=√10，正確。

C3✕ 易錯陷阱

D√2✕ 易錯陷阱

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