給定兩向量 u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}^T 及 v = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}^T，分解 u = u_1 + u_2 為，其中 u_1 為 u 在 v 的垂直投影（orthogonal projection），則下列選項何者錯誤？

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學112 年第 20 題單選題

給定兩向量 $u = 213^{T}$ 及 $v = 412^{T}$ ，分解 $u = u_{1} + u_{2}$ 為，其中 $u_{1}$ 為 $u$ 在 $v$ 的垂直投影（orthogonal projection），則下列選項何者錯誤？

A向量

u_{1} = 20/7 5/7 10/7^{T}

B向量

u_{2}

的範數（norm）

∣∣ u_{2} ∣∣ = 161/7

C兩向量

u_{2}, v

的外積（cross product）為零向量正確答案

D兩向量

u_{1}, u_{2}

的內積（inner product）為零

答案與詳解

正確答案

向量投影分解中，投影分量 u1 平行於 v，垂直分量 u2 垂直於 v。互相垂直的兩向量內積為零，但外積不為零（兩向量平行時外積才為零向量）。

本題為反向題，C 為錯誤敘述。u2 是垂直於 v 的分量，兩者夾角為 90 度。外積大小為 ||u2|| * ||v|| * sin(90°) ≠ 0。只有當兩向量「平行」時，外積才會是零向量。

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