國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學112 年第 9 題單選題
考慮微分方程式 (a(x)+b)dy=(a(x)+b)ydx。若乘上積分因子 μ(x,y) 後可將此方程式轉換成正合（exact）微分方程式，則 μ 為下列何者？
Aa(x)1
Ba(x)
Cb(y)
Db(y)1正確答案
D正確答案
題目應為 (a(x)+b(y))dy=(a(x)+b(y))ydx,乘以 1/b(y) 後可分離變數成為正合方程。
為什麼答案是 D
1/b(y) 使 N/μ 形式為 a(x)/b(y)+1,M 為 −(a(x)/b(y)+1)y;檢驗 ∂M/∂y=∂N/∂x 成立,為正合。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 題目應為 $(a(x)+b(y))dy=(a(x)+b(y))y\,dx$,乘以 $1/b(y)$ 後可分離變數成為正合方程。
原式整理:$\frac{dy}{dx}=y$ 看似已可解,但題目給的形式為 $M\,dx+N\,dy=0$ 形式 $-(a(x)+b(y))y\,dx+(a(x)+b(y))\,dy=0$。
檢驗 $\partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x$,非正合。
乘以 $\mu=1/b(y)$ 後:$-\frac{(a(x)+b(y))y}{b(y)}dx+\frac{a(x)+b(y)}{b(y)}dy=0$。
此時 $N=\frac{a(x)}{b(y)}+1$,只與 $x,y$ 分離形式相關,使 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ 成立,故為正合。
逐選項分析
A✕
$1/a(x)$ 僅消去 $a(x)$,但 $b(y)y$ 項中 $y$ 與 $b(y)$ 仍纏繞,無法使偏導相等。
B✕
$a(x)$ 反而使係數更複雜,$\partial M/\partial y$ 與 $\partial N/\partial x$ 不等。
C✕
$b(y)$ 乘上後 $M=-(a(x)+b(y))y\,b(y)$,$y$ 對 $b(y)$ 偏導項無法與 $x$ 對 $a(x)b(y)$ 偏導項配合。
D✓ 正確
$1/b(y)$ 使 $N/\mu$ 形式為 $a(x)/b(y)+1$,$M$ 為 $-(a(x)/b(y)+1)y$;檢驗 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ 成立,為正合。
題目原文 $b$ 應為 $b(y)$,否則式子可直接約分為 $dy=y\,dx$ 不需積分因子。注意函數變數歸屬。 
