國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學105 年第 20 題單選題
若 μ(x,y) 為微分方程式 y′=N(x,y)/M(x,y) 的積分因子（integrating factor），則 μ(x,y) 須滿足下列何種條件？
A∂x∂μ(x,y)+∂y∂μ(x,y)=N(x,y)+M(x,y)
B∂y∂(μN)=∂x∂(μM)正確答案
C∂y∂N(x,y)=∂x∂M(x,y)
D∂x∂(μN)=∂y∂(μM)
B正確答案
本題測驗正合微分方程式的積分因子條件，出題者忽略了負號，(B) 為對應 Ndx+Mdy=0 的正合條件。
為什麼答案是 B
此為對應 Ndx+Mdy=0 的積分因子條件。雖與題幹推導出的 Ndx−Mdy=0 相差一個負號，但最符合出題者測驗「交錯偏微相等」的意圖，為官方正解。
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完整詳解
Pro · 無限重點 本題測驗正合微分方程式的積分因子條件，出題者忽略了負號，(B) 為對應 $N dx + M dy = 0$ 的正合條件。
1. 一階常微分方程式標準型為 $P dx + Q dy = 0$。若 $\mu(x,y)$ 為積分因子，乘上 $\mu$ 後方程式即為正合，須滿足 $\frac{\partial (\mu P)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$。
2. 題幹 $y' = \frac{N}{M}$ 移項後為 $N dx - M dy = 0$。嚴格來說，正合條件應為 $\frac{\partial (\mu N)}{\partial y} = -\frac{\partial (\mu M)}{\partial x}$。
3. 推測出題者忽略了移項產生的負號，本意是測驗 $N dx + M dy = 0$ 的正合條件，對應 $P=N, Q=M$，積分因子條件即為 $\frac{\partial (\mu N)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu M)}{\partial x}$，故官方答案為 (B)。
逐選項分析
A✕
此式並非正合方程式或積分因子的相關判定條件，純屬湊選項。
B✓ 正確
此為對應 $N dx + M dy = 0$ 的積分因子條件。雖與題幹推導出的 $N dx - M dy = 0$ 相差一個負號，但最符合出題者測驗「交錯偏微相等」的意圖，為官方正解。
C✕
此為原方程式 $N dx + M dy = 0$ 本身即為「正合方程式」的判定條件，並未包含積分因子 $\mu$。
D✕
此為對應 $M dx + N dy = 0$ 形式的積分因子條件，但題幹中分子分母對應的位置 ($y'=N/M$) 推導出的方程式主體應為 $N dx$ 與 $M dy$，故 (D) 的變數對應錯誤。
題目的 $y'=N/M$ 移項實為 $N dx - M dy = 0$，嚴格來說條件應帶有負號。作答時需妥協於出題者的符號瑕疵，選最接近正合定義的 (B)。 
