若 $μ (x, y)$ 為微分方程式 $y^{'} = N (x, y) / M (x, y)$ 的積分因子（integrating factor），則 $μ (x, y)$ 須滿足下列何種條件？

\frac{\partial μ ( x , y )}{\partial x} + \frac{\partial μ ( x , y )}{\partial y} = N (x, y) + M (x, y)

\frac{\partial ( μ N )}{\partial y} = \frac{\partial ( μ M )}{\partial x}

正確答案

\frac{\partial N ( x , y )}{\partial y} = \frac{\partial M ( x , y )}{\partial x}

\frac{\partial ( μ N )}{\partial x} = \frac{\partial ( μ M )}{\partial y}

答案與詳解

正確答案

本題測驗正合微分方程式的積分因子條件，出題者忽略了負號，(B) 為對應

N d x + M d y = 0

的正合條件。

此為對應 $N d x + M d y = 0$ 的積分因子條件。雖與題幹推導出的 $N d x - M d y = 0$ 相差一個負號，但最符合出題者測驗「交錯偏微相等」的意圖，為官方正解。

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若 μ(x,y) 為微分方程式 y′=N(x,y)/M(x,y) 的積分因子（integrating factor），則 μ(x,y) 須滿足下列何種條件？