若 $\mu(x,y)$ 為微分方程式 $y'=\frac{N(x,y)}{M(x,y)}$ 的積分因子（integrating factor），則 $\mu(x,y)$ 須滿足下列何種條件？

正確答案為 B。本題測驗正合微分方程式的積分因子條件，出題者忽略了負號，(B) 為對應 $N dx + M dy = 0$ 的正合條件。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學105 年第 20 題單選題

若 $μ (x, y)$ 為微分方程式 $y^{'} = \frac{N ( x , y )}{M ( x , y )}$ 的積分因子（integrating factor），則 $μ (x, y)$ 須滿足下列何種條件？

\frac{\partial μ ( x , y ) M ( x , y )}{\partial y} + \frac{\partial μ ( x , y ) N ( x , y )}{\partial x} = 0

\frac{\partial μ ( x , y ) M ( x , y )}{\partial x} + \frac{\partial μ ( x , y ) N ( x , y )}{\partial y} = 0

正確答案

\frac{\partial N ( x , y )}{\partial y} = \frac{\partial M ( x , y )}{\partial x}

\frac{\partial ( μ N )}{\partial x} = \frac{\partial ( μ M )}{\partial y}

答案與詳解

正確答案

本題測驗正合微分方程式的積分因子條件，出題者忽略了負號，(B) 為對應

N d x + M d y = 0

的正合條件。

此為對應 $N d x + M d y = 0$ 的積分因子條件。雖與題幹推導出的 $N d x - M d y = 0$ 相差一個負號，但最符合出題者測驗「交錯偏微相等」的意圖，為官方正解。

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