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國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學105 年第 14 題單選題考點：初始條件檢驗考點：對數函數定義域

下列何者是 $y^{'} + \frac{y}{x} = x y$ 且 $y (0) = - 2$ 的解？

A

y^{2} - x^{2} y - 4 = 0

正確答案

B

x^{2} y^{2} = 2 ln (x) + 1

C

y^{2} + x^{2} y + 4 = 0

D

x y^{2} - 4 = 2

答案與詳解

A

正確答案

遇到微分方程的初值問題（IVP），最聰明的作法是直接將初始條件代入選項檢驗，往往能秒殺題目，完全無需耗時解方程式。

逐選項解析

Ay² - x²y - 4 = 0初始條件檢驗✓ 正確

將初始條件 x=0, y=-2 代入方程式，得到 (-2)² - 0×(-2) - 4 = 4 - 0 - 4 = 0，等式完美成立，為唯一符合初始條件的選項。

Bx²y² = 2ln(x) + 1對數函數定義域✕ 易錯陷阱

代入 x=0 時，對數函數 ln(0) 在實數系中無定義，且等式左邊為 0，兩邊不相等，可直接排除。

Cy² + x²y + 4 = 0✕ 錯誤

Dxy² - 4 = 2✕ 錯誤

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