考慮常微分方程式 (d²y/dx²) + 2(dy/dx) + 4y + 5 = 0，下列何者非其齊次解（homogeneous solution）？

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學114 年第 15 題單選題

考慮常微分方程式 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 y + 5 = 0$ ，下列何者非其齊次解（homogeneous solution）？

e^{- 2 x} cos x

e^{- 2 x} sin x

e^{- 2 x} (cos 2 x + sin 2 x)

e^{- 2 x} cos x + sin x

正確答案

答案與詳解

正確答案

本題考查二階常微分方程式的齊次解結構。齊次解的各項必須具備相同的指數衰減特徵，選項 D 的三角函數漏掉指數項，破壞了線性組合規則，故非齊次解。

本題問「何者非」。齊次解的線性組合必須維持相同的特徵根結構。此選項中的 $sin x$ 缺乏指數衰減項 $e^{- 2 x}$ ，除非方程式為四階以上且包含純虛數根，否則不可能出現此種組合，故絕對不是齊次解。

考點：齊次解基本形式考點：線性組合考點：特徵根結構破壞

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