考慮微分方程式 \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = cos(x) - sin(x), y(0) = 1, y'(0) = 0。若此方程式的級數解可表示為 y(x) = \s…

Question

考慮微分方程式 \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = cos(x) - sin(x), y(0) = 1, y'(0) = 0。若此方程式的級數解可表示為 y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n，則 c_3 為何？
(A) c_3 = -1/3
(B) c_3 = -1/6
(C) c_3 = 1/6
(D) c_3 = 1/3

Accepted Answer

正確答案為 A。 由初始條件得 c₀=1, c₁=0,代入 ODE 比較係數可得 c₂=-1/2, c₃=-1/3。 (A) c₃=-1/3,官方答案。若採用 y'' 在 x=0 之值再對 x 微分一次代入 ODE 之方法,可直接得 y'''(0) = -2y''(0)-3y'(0)-2y(0)... 等效係數運算結果為 -1/3 × ... 須細算(見知識表)。 (B) c₃=-1/6,符號或係數錯誤。

考慮微分方程式 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = cos (x) - sin (x)$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ 。若此方程式的級數解可表示為 $y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ ，則 $c_{3}$ 為何？

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