下列何者為微分方程式 y'' - 2y' + y = -12e⁻ˣ 之通解？（其中 dy/dx ≡ y'，c₁、c₂ 為任意常數）

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學107 年第 10 題單選題

下列何者為微分方程式 $y^{''} - 2 y^{'} + y = - 12 e^{- x}$ 之通解？（其中 $d y / d x \equiv y^{'}$ ， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 為任意常數）

y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{6 x} - x e^{- x}

y = c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{x} - 6 e^{2 x}

正確答案

y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{4 x} - 2 x e^{- x}

y = c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{x} - 24 e^{2 x}

答案與詳解

正確答案

齊次解為

(c_{1} + c_{2} x) e^{x}

,特解需重新求得,但官方選 (B)。

齊次解 $c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{x}$ 正確(重根 $r = 1$ );但特解項 $- 6 e^{2 x}$ 與正解 $- 3 e^{- x}$ 不符,惟為四選項中唯一齊次解正確者。

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