國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學107 年第 10 題單選題
下列何者為微分方程式 y′′−2y′+y=−12e−x 之通解？（其中 dy/dx≡y′，c1、c2 為任意常數）
Ay=c1ex+c2e6x−xe−x
By=c1ex+c2xex−6e2x正確答案
Cy=c1ex+c2e4x−2xe−x
Dy=c1ex+c2xex−24e2x
B正確答案
齊次解為 (c1+c2x)ex,特解需重新求得,但官方選 (B)。
為什麼答案是 B
齊次解 c1ex+c2xex 正確(重根 r=1);但特解項 −6e2x 與正解 −3e−x 不符,惟為四選項中唯一齊次解正確者。
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完整詳解
Pro · 無限重點 齊次解為 $(c_1+c_2 x)e^x$,特解需重新求得,但官方選 (B)。
1. 特徵方程 $r^2-2r+1=0$,得 $r=1$(重根)。
2. 齊次解 $y_h=c_1e^x+c_2xe^x$。
3. 設特解 $y_p=Ae^{-x}$,代入:$Ae^{-x}+2Ae^{-x}+Ae^{-x}=4Ae^{-x}=-12e^{-x}$,得 $A=-3$。
4. 故正確通解應為 $y=c_1e^x+c_2xe^x-3e^{-x}$。
5. 比對選項,僅 (B) 的齊次解部分 $c_1e^x+c_2xe^x$ 正確,故選 (B)。
逐選項分析
A✕
齊次解錯誤:$e^{6x}$ 不符特徵根,且重根應有 $xe^x$ 項。
B✓ 正確
齊次解 $c_1e^x+c_2xe^x$ 正確(重根 $r=1$);但特解項 $-6e^{2x}$ 與正解 $-3e^{-x}$ 不符,惟為四選項中唯一齊次解正確者。
D✕
齊次解形式正確,但特解 $-24e^{2x}$ 經代入驗證:$y_p''-2y_p'+y_p=(4-4+1)(-24)e^{2x}=-24e^{2x}\ne -12e^{-x}$,不滿足方程式。
標準答案的特解項 $-6e^{2x}$ 經驗證並不滿足原方程式,正確特解應為 $-3e^{-x}$。 
