國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學107 年第 16 題單選題
假設週期函數 f(t)=t2，−1<t≤1，週期為 2，求其 Fourier 級數中的常數項。
C正確答案
Fourier 級數常數項為 a0/2=T1∫f(t)dt=31。
為什麼答案是 C
31:正確。21∫−11t2dt=31。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 Fourier 級數常數項為 $a_0/2 = \frac{1}{T}\int f(t)dt = \frac{1}{3}$。
1. 週期 $T=2$,常數項公式為 $\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\,dt$
2. 代入:$\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}t^2\,dt$
3. 計算積分:$\int_{-1}^{1}t^2\,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$
4. 常數項 $=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
5. 故選 (C)。
逐選項分析
A✕
$\frac{2}{5}$:非此積分結果,錯誤。
B✕
$\frac{5}{6}$:可能誤算積分區間或忘記除以週期,錯誤。
C✓ 正確
$\frac{1}{3}$:正確。$\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}t^2dt=\frac{1}{3}$。
注意「常數項」指 $a_0/2$(即平均值),非 $a_0$。$a_0=2/3$,常數項才是 $1/3$。 
