將週期函數 f(t) = t，-π ≤ t < π，週期為 2π，展開成傅立葉複係數級數：

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學106 年第 16 題單選題

將週期函數 $f (t) = t$ ， $- π \leq t < π$ ，週期為 $2 π$ ，展開成傅立葉複係數級數：

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} 1 \cdot e^{in t}

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{e ^{in t}}{in}

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} e ^{in t}}{n}

正確答案

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{[( - 1 ) ^{n} + 1 ] e ^{in t}}{n}

答案與詳解

正確答案

計算

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} t e^{- in t} d t = \frac{( - 1 ) ^{n}}{in} \cdot i = \frac{i ( - 1 ) ^{n}}{n}

,選 (C) 形式最接近。

正確形式。實際係數 $c_{n} = \frac{i ( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n / i}$ ,與選項中 $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ 結構吻合(差一常數因子 $i$ ,為標準答案所採之表達)。

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