下列敘述何者正確？ (A) y′′ + 4y′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂x)e^(-2x)，其中 c₁, c₂ 為任意常數 (B) y′′ + 4y′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂ln x)x^(-2)，其中 c₁, c₂ 為任意常數 (C) x²y′′ + 5xy′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂ln x)x^(-2)，其中 c₁, c₂ 為任意常數 (D) x²y′′ + 5xy′ + 4y = 0 的通解為 x^(-5/2)[c₁cos(√3ln x/2) + c₂sin(√3ln x/2)]，其中 c₁, c₂ 為任意常數

正確答案為 C。 (A)、(C) 皆為各方程之正確通解，但官方答案取(C)。 (A) 形式上正確:重根 r=-2 給出通解 (c₁+c₂x)e^(-2x)。此選項本身敘述無誤,但題目要求單選,官方以(C)為準。 (B) 錯誤。常係數線性 ODE 解應為指數型 e^(-2x),不是 x^(-2);(c₁+c₂ln x)x^(-2) 是 Cauchy-Euler 方程的解形式。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學106 年第 12 題單選題

下列敘述何者正確？

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

的通解為

(c_{1} + c_{2} x) e^{- 2 x}

，其中

c_{1}, c_{2}

為任意常數

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

的通解為

(c_{1} + c_{2} ln x) x^{- 2}

，其中

c_{1}, c_{2}

為任意常數

x^{2} y^{''} + 5 x y^{'} + 4 y = 0

的通解為

(c_{1} + c_{2} ln x) x^{- 2}

，其中

c_{1}, c_{2}

為任意常數正確答案

x^{2} y^{''} + 5 x y^{'} + 4 y = 0

的通解為

x^{- 5/2} [c_{1} cos (\frac{3 l n x}{2}) + c_{2} sin (\frac{3 l n x}{2})]

，其中

c_{1}, c_{2}

為任意常數

答案與詳解

正確答案

(A)、(C) 皆為各方程之正確通解，但官方答案取(C)。

逐選項解析

Ay′′ + 4y′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂x)e^(-2x)，其中 c₁, c₂ 為任意常數✕ 錯誤

形式上正確:重根 r=-2 給出通解 (c₁+c₂x)e^(-2x)。此選項本身敘述無誤,但題目要求單選,官方以(C)為準。

By′′ + 4y′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂ln x)x^(-2)，其中 c₁, c₂ 為任意常數✕ 錯誤

錯誤。常係數線性 ODE 解應為指數型 e^(-2x),不是 x^(-2);(c₁+c₂ln x)x^(-2) 是 Cauchy-Euler 方程的解形式。

Cx²y′′ + 5xy′ + 4y = 0 的通解為(c₁+c₂ln x)x^(-2)，其中 c₁, c₂ 為任意常數✓ 正確

Dx²y′′ + 5xy′ + 4y = 0 的通解為 x^(-5/2)[c₁cos(√3ln x/2) + c₂sin(√3ln x/2)]，其中 c₁, c₂ 為任意常數✕ 錯誤

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