國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學106 年第 9 題單選題
求 z2+1z 在 z=0 之留數（residue）之值為何？
B正確答案
本題依字面 f(z)=z2+1z 在 z=0 無極點，留數應為 0。官方給答 1，推測原題應為 z(z2+1)1 或 zz2+1 等在 z=0 留數為 1 的函數。
為什麼答案是 B
官方正解。雖原題幹在 z=0 留數為 0，但若推測原題為 z(z2+1)1 或 zz2+1，其在 z=0 的留數即為 1。考場上遇到無正確選項時，需猜測出題者原意。
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完整詳解
Pro · 無限重點 本題依字面 $f(z)=\frac{z}{z^2+1}$ 在 $z=0$ 無極點，留數應為 0。官方給答 1，推測原題應為 $\frac{1}{z(z^2+1)}$ 或 $\frac{z^2+1}{z}$ 等在 $z=0$ 留數為 1 的函數。
假設原題為 $f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)}$，在 $z=0$ 處為簡單極點，留數計算為 $\lim_{z\to 0} z \cdot f(z) = \frac{1}{0^2+1} = 1$。
逐選項分析
A✕ 陷阱
若計算原函數 $\frac{z}{z^2+1}$ 在 $z=i$ (真正的奇異點) 的留數，結果為 0.5。若考生算錯奇異點位置，可能會誤選此項。
B✓ 正確
官方正解。雖原題幹在 $z=0$ 留數為 0，但若推測原題為 $\frac{1}{z(z^2+1)}$ 或 $\frac{z^2+1}{z}$，其在 $z=0$ 的留數即為 1。考場上遇到無正確選項時，需猜測出題者原意。
C✕
純粹的數值干擾選項，與常見極點的留數計算結果不符。
D✕
純粹的數值干擾選項，無對應的常見計算錯誤路徑。
留數 (Residue) 快速判斷與計算
| 奇異點類型 | 判斷方式 | 留數計算公式 |
|---|
| 解析點 (無奇異點) | 代入分母不為 0 | Res = 0 |
| 簡單極點 (Simple Pole) | 分母有一次方為 0 | $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$ |
| m 階極點 (Pole of order m) | 分母有 m 次方為 0 | $\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)]$ |
本題為典型的「題目疑義」陷阱。依嚴格數學定義，原函數在 z=0 是解析的，留數絕對是 0。但在考場上若選項無 0，必須具備「猜測出題者原意（如排版錯誤打反分子分母）」的應變能力，尋找最可能的原函數來作答。 
