求 z/(z²+1) 在 z = 0 之留數（residue）之值為何？

Question

求 z/(z²+1) 在 z = 0 之留數（residue）之值為何？
(A) 0.5
(B) 1
(C) 2
(D) 3

Accepted Answer

正確答案為 B。 本題依字面 $f(z)=\frac{z}{z^2+1}$ 在 $z=0$ 無極點，留數應為 0。官方給答 1，推測原題應為 $\frac{1}{z(z^2+1)}$ 或 $\frac{z^2+1}{z}$ 等在 $z=0$ 留數為 1 的函數。 (A) 【奇異點誤判】若計算原函數 $\frac{z}{z^2+1}$ 在 $z=i$ (真正的奇異點) 的留數，結果為 0.5。若考生算錯奇異點位置，可能會誤選此項。 (B) 【簡單極點留數】官方正解。雖原題幹在 $z=0$ 留數為 0，但若推測原題為 $\frac{1}{z(z^2+1)}$ 或 $\frac{z^2+1}{z}$，其在 $z=0$ 的留數即為 1。考場上遇到無正確選項時，需猜測出題者原意。

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