國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學111 年第 11 題單選題
令 C:∣z∣=3 為以原點為圓心而半徑為 3 的圓周，則逆時鐘繞著 C 轉一圈所計算出來的複數積分 ∫Cz3eizdz 之值為何？
A正確答案
根據留數定理或柯西積分公式，本題積分值應為 −πi，官方選項可能因題目誤植而無正確答案。
為什麼答案是 A
若題幹為 ez，則留數為 21，積分值為 πi。官方給定此答案，推測題目原意應為 ez 而誤植為 eiz。
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完整詳解
Pro · 無限重點 根據留數定理或柯西積分公式，本題積分值應為 $-\pi i$，官方選項可能因題目誤植而無正確答案。
被積函數 $\frac{e^{iz}}{z^3}$ 在 $z=0$ 處有三階極點。利用泰勒展開式 $e^{iz} = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} + \dots$，可得 $\frac{e^{iz}}{z^3} = \frac{1}{z^3} + \frac{i}{z^2} - \frac{1}{2z} + \dots$。其留數為 $\frac{1}{z}$ 的係數 $-\frac{1}{2}$。根據留數定理，積分值為 $2\pi i \times (-\frac{1}{2}) = -\pi i$。
逐選項分析
A✓ 正確
若題幹為 $e^z$，則留數為 $\frac{1}{2}$，積分值為 $\pi i$。官方給定此答案，推測題目原意應為 $e^z$ 而誤植為 $e^{iz}$。
B✕
此為留數為 $1$ 時的積分結果，與本題計算不符。
C✕
此為留數為 $-1$ 時的積分結果，與本題計算不符。
D✕ 陷阱
若被積函數在路徑內無極點或留數為零時積分才為 $0$，本題在 $z=0$ 處留數不為零。
關鍵知識表
| topic | description |
|---|
| 留數定理 | 若函數 $f(z)$ 在封閉路徑 $C$ 內除有限個孤立奇異點外皆可解析，則 $\int_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$。 |
| 柯西積分公式 (高階導數) | $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$。 |
複變函數積分最常考的就是分子指數項：$e^{iz}$ 跟 $e^z$ 差一個虛數單位，留數值會差一個負號。計算留數時，若分母是 $(z-i)^2$ 這類二階極點,需要對分子微分,此時 $e^{iz}$ 微分後會多出 $i$ 因子,最終積分結果帶負號。很多人會忽略虛數單位對微分的影響,或者看到指數函數就直接套一階極點公式,導致正負號錯誤。判斷關鍵：先確認極點階數,再仔細處理指數項微分時的 $i$ 係數變化。 
