令 C: |z| = 3 為以原點為圓心而半徑為 3 的圓周，則逆時鐘繞著 C 轉一圈所計算出來的複數積分 ∫_C (e^(iz))/z³ dz 之值為何？

Question

令 C: |z| = 3 為以原點為圓心而半徑為 3 的圓周，則逆時鐘繞著 C 轉一圈所計算出來的複數積分 ∫_C (e^(iz))/z³ dz 之值為何？
(A) π i
(B) 2π i
(C) -2π i
(D) 0

Accepted Answer

正確答案為 A。 根據留數定理或柯西積分公式，本題積分值應為 $-\pi i$，官方選項可能因題目誤植而無正確答案。 (A) 【留數定理】若題幹為 $e^z$，則留數為 $\frac{1}{2}$，積分值為 $\pi i$。官方給定此答案，推測題目原意應為 $e^z$ 而誤植為 $e^{iz}$。 (B) 【留數定理】此為留數為 $1$ 時的積分結果，與本題計算不符。

令 $C : ∣ z ∣ = 3$ 為以原點為圓心而半徑為 $3$ 的圓周，則逆時鐘繞著 $C$ 轉一圈所計算出來的複數積分 $\int_{C} \frac{e ^{i z}}{z ^{3}} d z$ 之值為何？

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