國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學111 年第 6 題單選題
矩陣 A=300040001，則 A2 的特徵值（eigenvalues），不可能是下列那一個？
D正確答案
對角矩陣的特徵值即為主對角線元素，且矩陣 A 的 k 次方 (A^k) 其特徵值為原特徵值的 k 次方 (λ^k)。
為什麼答案是 D
A^2 的特徵值集合為 {9, 16, 1}，4 並不在其中。4 是原矩陣 A 的特徵值，而非 A^2 的特徵值，故為本題正確答案。
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完整詳解
Pro · 無限重點 對角矩陣的特徵值即為主對角線元素，且矩陣 A 的 k 次方 (A^k) 其特徵值為原特徵值的 k 次方 (λ^k)。
A 的特徵值為對角線元素 3, 4, 1。A^2 的特徵值即為它們的平方：9, 16, 1。選項中只有 4 不在其中，秒選 D。
逐選項分析
A✕
矩陣 A 的特徵值包含 3，因此 A^2 的特徵值包含 3^2 = 9。本題選「不可能」者，故不選此項。
B✕
矩陣 A 的特徵值包含 1，因此 A^2 的特徵值包含 1^2 = 1。本題選「不可能」者，故不選此項。
C✕
矩陣 A 的特徵值包含 4，因此 A^2 的特徵值包含 4^2 = 16。本題選「不可能」者，故不選此項。
D✓ 正確
A^2 的特徵值集合為 {9, 16, 1}，4 並不在其中。4 是原矩陣 A 的特徵值，而非 A^2 的特徵值，故為本題正確答案。
矩陣特徵值 (Eigenvalues) 基本運算性質
| 矩陣運算 | 對應的特徵值 | 先決條件/說明 |
|---|
| A | λ | 原始矩陣與特徵值 |
| A^k | λ^k | k 為正整數 |
| A^{-1} | 1/λ | A 必須為可逆矩陣 (λ ≠ 0) |
| cA | cλ | c 為任意常數純量 |
| A + cI | λ + c | I 為單位矩陣 |
對角矩陣的特徵值直接看對角線元素,但考選部最愛在矩陣次方這關卡人。關鍵判斷:若 A 的特徵值是 λ,則 A^k 的特徵值必為 λ^k,不是 kλ 也不是 λ+k。實戰中最常見的失分點是看到對角線有 4,就直接選 4,忘記題幹問的是 A^2 而非 A 本身。正確做法是先確認原矩陣特徵值(如 2),再對該值做同次方運算(2^2=4),而非把矩陣元素直接當答案。記住:矩陣做什麼運算,特徵值也要同步做相應運算。
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