複數無窮級數 f(z) = z + z² + z³ + z⁴ + ... + (1/3)z + (1/9)z² + (1/27)z³ + (1/81)z⁴ + ... 的收斂區域（Region of convergence）為何？

正確答案為 A。正確。$|z| 1/3$(負冪部分)交集即此環形區域。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學111 年第 12 題單選題

複數無窮級數 $f (z) = z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + \dots + \frac{1}{3} z + \frac{1}{9} z^{2} + \frac{1}{27} z^{3} + \frac{1}{81} z^{4} + \dots$ 的收斂區域（Region of convergence）為何？

\frac{1}{3} < ∣ z ∣ < 1

正確答案

1 < ∣ z ∣ < 3

∣ z ∣ < \frac{1}{3}

或

∣ z ∣ > 3

∣ z ∣ > 3

或

∣ z ∣ < 1

答案與詳解

正確答案

兩個級數需同時收斂:正冪級數需 |z|<1,負冪(實為 1/(3z) 等)需 |z|>1/3,交集為 1/3<|z|<1。

正確。 $∣ z ∣ < 1$ (正冪部分)與 $∣ z ∣ > 1/3$ (負冪部分)交集即此環形區域。

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