已知函數 $f(x) = \begin{cases} 1, |x| \leq 1 \ 0, |x| 1 \end{cases}$ 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 $F(\omega) = \f…

Question

已知函數 $f(x) = \begin{cases} 1, |x| \leq 1 \ 0, |x| > 1 \end{cases}$ 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 $F(\omega) = \frac{2\sin(\omega)}{\omega}$ ，則函數 $g(x) = \begin{cases} 1, |x| \leq 2 \ 0, |x| > 2 \end{cases}$ 的傅立葉轉換 $G(\omega)$ 應該為何者？
(A) $G(\omega) = \frac{\sin(\omega)}{2\omega}$
(B) $G(\omega) = \frac{\sin(2\omega)}{2\omega}$
(C) $G(\omega) = \frac{\sin(2\omega)}{\omega}$
(D) $G(\omega) = \frac{2\sin(2\omega)}{\omega}$

Accepted Answer

正確答案為 D。 利用傅立葉轉換的尺度變換性質，寬度加倍則振幅加倍、頻率參數加倍，直接推導出答案。 (A) 【尺度性質誤用】誤將尺度變換公式中的係數弄反，以為寬度變大振幅會變小，且頻率參數未正確代入2倍，屬於觀念完全顛倒的錯誤選項。 (B) 【係數遺漏】僅正確代入了頻率參數2ω，但忘記尺度變換時前面的係數也要跟著調整。這是考生最常犯的「只改一半」陷阱。

已知函數 $f (x) = {1, ∣ x ∣ \leq 1 0, ∣ x ∣ > 1$ 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 $F (ω) = \frac{2 s i n ( ω )}{ω}$ ，則函數 $g (x) = {1, ∣ x ∣ \leq 2 0, ∣ x ∣ > 2$ 的傅立葉轉換 $G (ω)$ 應該為何者？

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已知函數 f(x)={1,∣x∣≤10,∣x∣>1​ 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 F(ω)=ω2sin(ω)​ ，則函數 g(x)={1,∣x∣≤20,∣x∣>2​ 的傅立葉轉換 G(ω) 應該為何者？

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