已知函數 f(x) = {1, |x| 1} 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 F(ω) = 2sin(ω)/ω，則函數 g(x) = {1, |x| 2} 的傅立葉轉換 G(ω) 應該為何者？

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學111 年第 17 題單選題

已知函數 $f (x) = {1, 0, ∣ x ∣ < 1 ∣ x ∣ > 1$ 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 $F (ω) = \frac{2 s i n ( ω )}{ω}$ ，則函數 $g (x) = {1, 0, ∣ x ∣ < 2 ∣ x ∣ > 2$ 的傅立葉轉換 $G (ω)$ 應該為何者？

G (ω) = \frac{s i n ( ω )}{2 ω}

G (ω) = \frac{s i n ( 2 ω )}{2 ω}

G (ω) = \frac{s i n ( 2 ω )}{ω}

G (ω) = \frac{2 s i n ( 2 ω )}{ω}

正確答案

答案與詳解

正確答案

本題測驗傅立葉轉換的「尺度變換性質」，觀察出 g(x) = f(x/2)，套用公式 G(ω) = 2F(2ω) 即可秒殺。

正確應用尺度變換：g(x) = f(x/2)，此時 a=1/2。G(ω) = (1/|1/2|) * F(ω/(1/2)) = 2F(2ω)。代入原式：2 * [2sin(2ω)/(2ω)] = 2sin(2ω)/ω。

考點：尺度變換考點：參數代錯考點：漏乘係數

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