國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學114 年第 4 題單選題
設矩陣 A=001103013，則特徵多項式為何？
Aλ3+3λ2+3λ+1
Bλ3−3λ2−3λ−1正確答案
Cλ3+1
Dλ3−1
B正確答案
companion matrix 特徵多項式為 λ³−3λ²−3λ−1,選 (B)。
為什麼答案是 B
正確。companion 矩陣最後一列 (1,3,3) 直接對應特徵多項式係數 −1,−3,−3。
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完整詳解
Pro · 無限重點 companion matrix 特徵多項式為 λ³−3λ²−3λ−1,選 (B)。
計算 det(λI−A):
$\det\begin{pmatrix}\lambda & -1 & 0\\ 0 & \lambda & -1\\ -1 & -3 & \lambda-3\end{pmatrix}$
沿第一列展開:
= λ[λ(λ−3)−3] − (−1)[0·(λ−3)−(−1)(−1)]
= λ(λ²−3λ−3) + (0−1)
= λ³ − 3λ² − 3λ − 1
逐選項分析
A✕
符號全錯,將 −3,−3,−1 誤為 +3,+3,+1。
B✓ 正確
正確。companion 矩陣最後一列 (1,3,3) 直接對應特徵多項式係數 −1,−3,−3。
知識整理
| 重點 |
|---|
| Companion matrix: 若 A 形如 [[0,1,0],[0,0,1],[c0,c1,c2]],則特徵多項式為 λ³ − c2·λ² − c1·λ − c0。本題 c0=1, c1=3, c2=3 ⇒ λ³−3λ²−3λ−1。 |
注意 det(λI−A) 與 det(A−λI) 對於 3×3 差一個負號,易搞錯整體符號。 
