國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學105 年第 10 題單選題
假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 ∣z−i∣=2，試求積分 ∮Cz2+41dz 為何？
C正確答案
圓 ∣z−i∣=2 內僅含奇點 z=2i,由留數定理得 π/2。
為什麼答案是 C
正確:僅 z=2i 在圓內,留數為 1/(4i),積分 =2πi⋅1/(4i)=π/2。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 圓 $|z-i|=2$ 內僅含奇點 $z=2i$,由留數定理得 $\pi/2$。
1. $z^2+4=(z-2i)(z+2i)$,奇點為 $\pm 2i$。
2. 圓心 $i$、半徑 $2$:$|2i-i|=1<2$ 在內;$|-2i-i|=3>2$ 在外。
3. 在 $z=2i$ 的留數:$\dfrac{1}{z+2i}\Big|_{z=2i}=\dfrac{1}{4i}$。
4. $\oint_C=2\pi i\cdot\dfrac{1}{4i}=\dfrac{\pi}{2}$。
逐選項分析
A✕
若兩奇點皆不在圓內才為 0,但 $2i$ 在圓內,錯。
C✓ 正確
正確:僅 $z=2i$ 在圓內,留數為 $1/(4i)$,積分 $=2\pi i\cdot 1/(4i)=\pi/2$。
D✕
誤把 $2\pi i\cdot 1$ 計為 $2\pi$,留數計算錯誤。
知識整理
| 重點 |
|---|
| 留數定理:$\oint_C f\,dz=2\pi i\sum\text{Res}$(逆時針)。簡單極點 $z_0$:$\text{Res}=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$。判斷奇點是否在圓內需比較 $|z_0-\text{圓心}|$ 與半徑。 |
務必檢查每個奇點與圓心距離,$z=-2i$ 距 $i$ 為 3,在圓外不計入。 
