國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學105 年第 8 題單選題
下列何者為 z=−1+i=eiπ/4 之解？其中 i=−1。
Az=ln(2)+i(π/4)正確答案
Bz=ln(2)+i(π/4)
Cz=−ln(2)+i(π/4)
Dz=−ln(2)−i(π/4)
A正確答案
本題題幹存在明顯排版/轉錄錯誤：z=−1+i=eiπ/4 在數學上不成立，因為 −1+i 的模為 2、輻角為 3π/4（位於第二象限），與 eiπ/4（模為 1、輻角 π/4）並不相等。由於缺乏完整正確的原始題幹與選項文字，無法逐項驗證，僅能依官方標準答案標示正解為 A。
為什麼答案是 A
依官方公告之標準答案，本題正解為 A。由於題幹與選項文字在轉錄過程中發生錯誤，無法在此完整還原 A 選項的確切內容，但其為官方認定之正解。建議以原始試卷核對 A 選項的具體式子。
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完整詳解
Pro · 無限重點 本題題幹存在明顯排版/轉錄錯誤：$z = -1 + i = e^{i\pi/4}$ 在數學上不成立，因為 $-1+i$ 的模為 $\sqrt{2}$、輻角為 $3\pi/4$（位於第二象限），與 $e^{i\pi/4}$（模為 1、輻角 $\pi/4$）並不相等。由於缺乏完整正確的原始題幹與選項文字，無法逐項驗證，僅能依官方標準答案標示正解為 A。
複數對數的通用解題法：若 $e^z = r e^{i\theta}$，則 $z = \ln(r) + i(\theta + 2n\pi)$。先求複數的模 $r$ 與輻角 $\theta$，再代入即可。以 $-1+i$ 為例，$r=\sqrt{2}$、$\theta=3\pi/4$，故其對數主值為 $\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\tfrac{3\pi}{4}$。
逐選項分析
A✓ 正確
依官方公告之標準答案，本題正解為 A。由於題幹與選項文字在轉錄過程中發生錯誤，無法在此完整還原 A 選項的確切內容，但其為官方認定之正解。建議以原始試卷核對 A 選項的具體式子。
B✕
非官方標準答案。因缺乏可靠的選項原文，無法對其數值做具體比對，僅依官方公告判定其非正解。
C✕
非官方標準答案。常見錯誤型態為模的對數取錯符號（例如將正值誤寫為負值）或輻角取值落在錯誤象限；但本題選項原文缺失，無法逐一核對。
D✕
非官方標準答案。常見錯誤型態為實部與虛部符號同時取錯，導致對應的複數落於錯誤象限；惟因選項原文缺失，無法精確驗證。
複數指數與對數函數對照
| 項目 | 公式 | 說明 |
|---|
| 極座標表示 | $w = r e^{i\theta}$ | $r=|w|$ 為模(長度)，$\theta=\arg(w)$ 為輻角 |
| 模的計算 | $r = \sqrt{a^2+b^2}$ | 對 $w=a+bi$，例如 $|-1+i|=\sqrt{2}$ |
| 輻角計算 | $\theta = \operatorname{atan2}(b,a)$ | 須依象限定位，例如 $-1+i$ 位第二象限，$\theta=3\pi/4$ |
| 複數對數(一般值) | $\ln(w)=\ln(r)+i(\theta+2n\pi)$ | 具多值性，$n$ 為任意整數 |
| 複數對數(主值) | $\operatorname{Ln}(w)=\ln(r)+i\theta$ | 限制 $-\pi<\theta\le\pi$ |
題幹的等式 $-1+i = e^{i\pi/4}$ 在數學上不成立：$-1+i$ 的模為 $\sqrt{2}$、輻角為 $3\pi/4$，而 $e^{i\pi/4}$ 的模為 1、輻角為 $\pi/4$，兩者不相等。正確寫法應為 $-1+i = \sqrt{2}\,e^{i 3\pi/4}$。本詳解不對殘缺選項自行臆造數值，僅以官方公告之正解 A 為準，並提醒考生若遇此類題目應以原始正確試卷核對題幹與選項。 
