下列何者是 $y^{'''} - 4 y^{''} - y^{'} + 4 y = 0$ 的通解？

e^{- x} (c_{1} cos (2 x) + c_{2} sin (2 x))

，其中

c_{1}, c_{2}

為常數

e^{- x} [(c_{1} + c_{2} x) cos (2 x) + (c_{3} + c_{4} x) sin (2 x)]

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

為常數

c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x} + c_{3} e^{- 2 x}

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}

為常數

c_{1} e^{- x} + c_{2} e^{2 x} + c_{3} e^{- 2 x}

，其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}

為常數正確答案

答案與詳解

正確答案

常係數線性齊次 ODE 的解法核心在於求解「特徵方程式」。本題題幹疑似誤植，依官方給定答案 D 反推，原方程式應為

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

。

此通解對應的特徵根為 $r = - 1, 2, - 2$ ，特徵方程式為 $(r + 1) (r^{2} - 4) = r^{3} + r^{2} - 4 r - 4 = 0$ 。雖與題幹算出的根 (1, -1, 4) 不符，但為官方正解，推測題幹方程式有誤植。

考點：共軛複數根考點：複數重根考點：相異實根

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下列何者是 y′′′−4y′′−y′+4y=0 的通解？