下列何者是 y''' - 4y'' - y' + 4y = 0 的通解？

Question

下列何者是 y''' - 4y'' - y' + 4y = 0 的通解？
(A) $e^{-x}(c_{1}\cos2x+c_{2}\sin2x)$ ，其中 $c_{1},c_{2}$ 為常數
(B) $e^{-x}[(c_{1}+c_{2}x)\cos 2x+(c_{3}+c_{4}x)\sin 2x]$ ，其中 $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$ 為常數
(C) $c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-2x} + c_{3}e^{2x}$ , 其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 為常數
(D) $c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{-2x} + c_{3}e^{2x}$ ，其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 為常數

Accepted Answer

正確答案為 D。 常係數線性齊次 ODE 的解法核心在於求解「特徵方程式」。本題題幹疑似誤植，依官方給定答案 D 反推，原方程式應為 $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$。 (A) 【共軛複數根】此通解形式對應的特徵根為共軛複數 $r = -1 \pm 2i$，其特徵方程式應為 $(r+1)^2 + 4 = r^2+2r+5=0$，與題意不符。 (B) 【複數重根】此通解形式中含有 $x$，代表特徵根為「重根」的共軛複數 $r = -1 \pm 2i$（二重根），這至少需要四階微分方程式才會出現，直接排除。

下列何者是 $y^{'''} - 4 y^{''} - y^{'} + 4 y = 0$ 的通解？

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