國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學107 年第 2 題單選題
某向量空間{[a+cb−ac−bb+a]⊤∣a,b,c∈R}，則下列何者不為其基底向量之一？
A[1−101]⊤
B[01−11]⊤
C[1010]⊤
D[010−1]⊤正確答案
D正確答案
將向量空間的通式拆解為 a, b, c 的線性組合，找出生成向量，再檢驗哪個選項無法被這些生成向量表示（即不在空間內）。
為什麼答案是 D
此向量無法由空間的生成向量線性組合而成（若強行解聯立方程式會得到矛盾的結果），代表它根本不在該向量空間內，絕對不可能成為基底向量。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 將向量空間的通式拆解為 a, b, c 的線性組合，找出生成向量，再檢驗哪個選項無法被這些生成向量表示（即不在空間內）。
將通式拆成 a[1, -1, 0, 1]^T + b[0, 1, -1, 1]^T + c[1, 0, 1, 0]^T，直接對應選項 A、B、C，剩下 D 必為非基底。
逐選項分析
A✕
將通式中的變數代入 a=1, b=0, c=0，即可得到向量 [1, -1, 0, 1]^T。它是該空間的生成向量之一，可作為基底。
B✕
將通式中的變數代入 a=0, b=1, c=0，即可得到向量 [0, 1, -1, 1]^T。它是該空間的生成向量之一，可作為基底。
C✕
將通式中的變數代入 a=0, b=0, c=1，即可得到向量 [1, 0, 1, 0]^T。它是該空間的生成向量之一，可作為基底。
D✓ 正確
此向量無法由空間的生成向量線性組合而成（若強行解聯立方程式會得到矛盾的結果），代表它根本不在該向量空間內，絕對不可能成為基底向量。
向量空間與基底檢驗步驟
| 步驟 | 操作說明 | 本題應用 |
|---|
| 1. 拆解通式 | 將給定的向量通式依變數拆成多個向量相加 | 拆成 a[1,-1,0,1]^T + b[0,1,-1,1]^T + c[1,0,1,0]^T |
| 2. 找生成向量 | 提取出各變數對應的常數向量 | 得到 v1, v2, v3 三個生成向量 |
| 3. 檢驗獨立性 | 確認生成向量是否線性獨立 | v1, v2, v3 線性獨立，構成一組基底 |
| 4. 判斷選項 | 檢查選項是否在空間內或是否為生成向量 | 選項 A, B, C 即為 v1, v2, v3，D 不在空間內 |
考生可能陷入複雜的矩陣列運算來找基底，而忽略了最根本的定義：「基底向量必須存在於該向量空間中」。只要發現某向量無法由空間的生成向量線性組合而成，它就直接出局。 
