令隨機變數 X, Y 的聯合機率密度函數（Joint probability density function）為 f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} k(x+2y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases}，其中 k 為實數，則下列何者正確？

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學112 年第 19 題單選題

令隨機變數 $X$ , $Y$ 的聯合機率密度函數（Joint probability density function）為 $f_{X, Y} (x, y) = {k (x + 2 y), 0, 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1 其他$ ，其中 $k$ 為實數，則下列何者正確？

k = \frac{1}{2}

B邊際機率密度（Marginal probability density function）為

g (x) = \frac{x}{4}

，

0 \leq x \leq 2

C邊際機率密度（Marginal probability density function）為

h (y) = \frac{1 + 2 y}{4}

，

0 \leq y \leq 1

D條件機率密度（conditional probability density function）為

f (y ∣ x) = \frac{1 + 2 y}{2}

，

0 \leq y \leq 1

正確答案

答案與詳解

正確答案

先利用雙重積分等於 1 求出常數 k=1/4，再分別對 y 與 x 積分求出邊際機率密度。選項 D 的數學式實為 Y 的邊際機率密度，屬命題瑕疵但為最佳解。

真正的條件機率密度 f(y|x) = f(x,y) / g(x) = (x+2y)/(x+1)。選項 D 的算式 (1+2y)/2 實際上是 Y 的「邊際機率密度 h(y)」。此為考題命題瑕疵（名詞誤植），但因其他選項皆錯，故選 D 為最佳解。

考點：全機率為1考點：邊際機率密度考點：條件機率密度

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