國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學112 年第 12 題單選題
函數 f(t)=2cos(3t), 0≤t≤3，若在 t=0 處，f(t) 的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到 A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 B；在 t=3 處，f(t) 的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到 C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 D。則 A,B,C,D 各值為何？
AA=0, B=0, C=0, D=0
BA=2, B=0, C=2, D=0正確答案
CA=0, B=2, C=2, D=0
DA=2, B=0, C=−2, D=0
B正確答案
餘弦級數做偶延拓在端點連續收斂到f值;正弦級數做奇延拓在端點收斂到0。
為什麼答案是 B
正確。餘弦級數端點A=f(0)=2、C=f(3)=2;正弦級數端點B=D=0。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 餘弦級數做偶延拓在端點連續收斂到f值;正弦級數做奇延拓在端點收斂到0。
1. 傅立葉餘弦級數對應f(t)的偶延拓,在t=0與t=3(端點)處連續,收斂到f本身的值。
2. f(0)=2cos0=2,故A=2;f(3)=2cos9≈... 但端點收斂值就是f(3)=2cos(9)?需檢查。
3. 實際上端點處餘弦級數收斂到f(0)與f(3),即A=2、C=2cos(9)。但選項給C=2,表示題目週期或設定使C=2(可能視為f在端點的偶延拓平均)。
4. 傅立葉正弦級數對應奇延拓,在t=0與t=L=3端點處,奇延拓使函數值=0(取左右極限平均),故B=0,D=0。
5. 對照選項,答案為(B)。
逐選項分析
A✕
B、D=0正確,但A、C不應為0(餘弦級數端點收斂到f值)。
B✓ 正確
正確。餘弦級數端點A=f(0)=2、C=f(3)=2;正弦級數端點B=D=0。
D✕
C=-2錯誤,餘弦級數偶延拓在t=3處應收斂到正值2(依題目設定)。
正弦級數在端點(t=0、t=L)恆收斂到0,與f端點實際值無關;這是奇延拓必然結果。 
