若一曲線 C 的位置函數為 $F(t)=(t\cos (t)+\sin (t))\mathbf{i}+(t\sin (t)-\cos (t))\mathbf{j}+t^2\mathbf{k}$，其中 $t>0$，其速率為何？

逐分量微分：x=tcos t+sin t → x'=2cos t−t sin t；y=t sin t−cos t → y'=2sin t+t cos t；z=t² → z'=2t。速率=√[(2cos t−t sin t)²+(2sin t+t cos t)²+(2t)²]。展開前兩項：(4cos²t−4t sin t cos t+t²sin²t)+(4sin²t+4t sin t cos t+t²cos²t)=4(cos²t+sin²t)+t²(sin²t+cos²t)=4+t²，再加 4t²，共 4+5t²。故速率=√(4+5t²)，與C相符。