曲線 C 的參數表示式為 x = cos(t)；y = sin(t)；z = t，則曲線 C 從 P₁ = (1,0,0) 到 P₂ = (0,1,π/2) 的弧線長（arc length）為何？

正確答案為 A。$2\pi$:若速率為 $\sqrt{2}$ 且積分區間為 $[0,\pi/2]$,結果為 $\pi\sqrt{2}/2$,並非 $2\pi$。此選項僅在誤把速率當作 4 或弧長公式錯誤時成立,正確性存疑。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學104 年第 4 題單選題

曲線 C 的參數表示式為 $x = cos (t)$ ； $y = sin (t)$ ； $z = t$ ，則曲線 C 從 $P_{1} = (1, 0, 0)$ 到 $P_{2} = (0, 1, π /2)$ 的弧線長（arc length）為何？

2 π

正確答案

π 2

1 + \frac{π ^{2}}{2}

(1 + π^{2})^{3/2} - 1

答案與詳解

正確答案

弧長公式積分得

2 \cdot (t_{2} - t_{1})

,但從

t = 0

到

π /2

應為

π 2 /2

,官方答案 A 有疑慮。

$2 π$ :若速率為 $2$ 且積分區間為 $[0, π /2]$ ,結果為 $π 2 /2$ ,並非 $2 π$ 。此選項僅在誤把速率當作 4 或弧長公式錯誤時成立,正確性存疑。

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