複變函數 f(z) = (cos(z) - i sin(z))/(z - 2i)³ 在 z = 2i 的留數（residue）為何？其中 i² = -1。 (A) -(1/2)cosh(1) (B) -(1/2)sinh(1) (C) -cosh(1) (D) -sinh(1)

正確答案為 A。利用三階極點留數公式,計算 e^(-iz) 在 z=2i 的二階導數除以 2!,得 -cosh(1)/2。 (B) 誤用 sinh 取代 cosh,為奇函數成分混淆。 (C) 漏除 2!(三階極點需除以 2!),導致係數錯。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學104 年第 8 題單選題

複變函數 $f (z) = \frac{c o s ( z ) - i s i n ( z )}{( z - 2 i ) ^{3}}$ 在 $z = 2 i$ 的留數（residue）為何？其中 $i^{2} = - 1$ 。

- \frac{1}{2} cosh (1)

正確答案

- \frac{1}{2} sinh (1)

- cosh (1)

- sinh (1)

答案與詳解

正確答案

利用三階極點留數公式,計算 e^(-iz) 在 z=2i 的二階導數除以 2!,得 -cosh(1)/2。

A-(1/2)cosh(1)✓ 正確

B-(1/2)sinh(1)✕ 錯誤

誤用 sinh 取代 cosh,為奇函數成分混淆。

C-cosh(1)✕ 錯誤

漏除 2!(三階極點需除以 2!),導致係數錯。

D-sinh(1)✕ 錯誤

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