國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學104 年第 12 題單選題
請問下列何者為 (1−x)y′′−xy′+4y=0 之奇點（singular point）？
B正確答案
標準式 y''-x/(1-x)·y'+4/(1-x)·y=0,使 1-x=0 之 x=1 為奇點;但選項給的是 (C)1 與 (B)-1,題目/答案疑有誤。
為什麼答案是 B
x=-1 時 1-x=2≠0,係數仍解析,並非奇點;官方標此答案有誤。
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完整詳解
Pro · 無限重點 標準式 y''-x/(1-x)·y'+4/(1-x)·y=0,使 1-x=0 之 x=1 為奇點;但選項給的是 (C)1 與 (B)-1,題目/答案疑有誤。
1. 將方程除以最高次係數 (1-x):
$y'' - \dfrac{x}{1-x}y' + \dfrac{4}{1-x}y = 0$
2. 奇點為使 $P(x)$ 或 $Q(x)$ 不解析之點,即 $1-x=0$。
3. 解得 $x=1$。
4. 因此正確奇點應為 (C) 1,而非 (B) -1。
逐選項分析
A✕
x=0 時 1-x=1≠0,係數解析,為普通點(ordinary point)。
B✓ 正確
x=-1 時 1-x=2≠0,係數仍解析,並非奇點;官方標此答案有誤。
C✕
x=1 使 (1-x)=0,係數 P(x)、Q(x) 在此不解析,為真正的奇點(且為正則奇點)。
D✕
x=-2 時 1-x=3≠0,係數解析,為普通點。
知識整理
| 重點 |
|---|
| 判定法則:對 $P_2(x)y''+P_1(x)y'+P_0(x)y=0$,化為標準式後,使 $P_1/P_2$ 或 $P_0/P_2$ 不解析的點即為奇點 ⇔ $P_2(x_0)=0$(且不被分子消掉)。本題 $P_2=1-x$,零點 $x=1$ → 奇點。進一步檢查 $(x-1)P,(x-1)^2 Q$ 解析 → 正則奇點。 |
奇點由最高次導數係數的零點決定,與其他常數項無關;切勿誤看成 1-(-1)=2 之類運算。 
