令向量函數 $\mathbf{F}=[-y,x]$，曲線 $C$ 為從 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的半圓，則線積分 ${\int }_C\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}$ 之值為何？

參數化曲線 r(t) = [cos t, sin t]，t 從 0 到 π。dr = [-sin t, cos t]dt。代入向量場 F = [-sin t, cos t]。內積 F·dr = (-sin t)(-sin t) + (cos t)(cos t) = 1。積分 ∫(0 to π) 1 dt = π。