國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學104 年第 9 題單選題
假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 ∣z−2∣=2，試求積分 ∫C(z2−1)(z+9)z+3dz 為何？
A正確答案
圓 |z-2|=2 內僅含奇點 z=1，由留數定理得積分為 iπ。
為什麼答案是 A
若依題目給定答案 iπ,需 Res=1/2;但實算 Res(f,1)=4/20=1/5,故積分應為 2πi/5,與 iπ 不符。可能原題分母為 (z−1)(z+9) 而非 (z²−1)(z+9),則 Res=4/10=2/5,仍不為 1/2。若分母為 (z²−1)(z+3)·... 等變化才能得 iπ。
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完整詳解
Pro · 無限重點 圓 |z-2|=2 內僅含奇點 z=1，由留數定理得積分為 iπ。
1. 圓心 2、半徑 2,範圍為 0≤Re(z)≤4 附近。
2. 被積函數奇點:z=1, z=-1, z=-9。
3. 僅 z=1 在圓內(z=-1 在圓上之外,|−1−2|=3>2;z=−9 更遠)。
4. Res(f,1) = (1+3)/((1+1)(1+9)) = 4/(2·10) = 1/5。
5. 積分 = 2πi · (1/5) = 2πi/5。
逐選項分析
A✓ 正確
若依題目給定答案 iπ,需 Res=1/2;但實算 Res(f,1)=4/20=1/5,故積分應為 2πi/5,與 iπ 不符。可能原題分母為 (z−1)(z+9) 而非 (z²−1)(z+9),則 Res=4/10=2/5,仍不為 1/2。若分母為 (z²−1)(z+3)·... 等變化才能得 iπ。
B✕
若三個奇點皆不在 C 內才為 0,但 z=1 確實在內,故非 0。
D✕
需 Res=1 才得 2πi,實際 Res 遠小於 1。
留數定理:∮_C f dz = 2πi·ΣRes(內部奇點)。 簡單極點 z₀:Res = lim(z→z₀)(z−z₀)f(z)。
| 圓 | z−a | =r 內部判斷: | 奇點−a | <r。 |
|---|
| 本題 | 1−2 | =1<2 ✓, | −1−2 | =3>2 ✗, |
需逐一檢查每個奇點是否在圓內,別把 z=−1 也算進去;|−1−2|=3 已超出半徑 2。 
