一微分方程式 (1-x²)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 被稱為勒讓德方程式(Legendre's equation),其中 n 為實數,則下列何者不為該方程式的解 P_n(x)?

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學104 年第 15 題單選題

一微分方程式 $(1 - x^{2}) y^{''} - 2 x y^{'} + n (n + 1) y = 0$ 被稱為勒見德方程式（Legendre's equation），其中 $n$ 為實數，則下列何者不為該方程式的解 $P_{n} (x)$ ？

P_{0} (x) = 1

P_{1} (x) = x

P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)

P_{3} (x) = \frac{1}{3} (5 x^{3} - x)

正確答案

答案與詳解

正確答案

Legendre 多項式 P_3(x) 應為 (1/2)(5x³−3x),選項 (D) 係數錯誤。

正確的 P_3(x)=(1/2)(5x³−3x),題目寫成 (1/3)(5x³−x),係數與多項式內容皆錯誤,代入 n=3 方程式無法成立,故為非解。

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