在整數的同餘計算中,假若A與B除以M有相同的餘數,即A ≡ B mod M。若C跟D對M也是同餘的關係,則下列的等式,何者正確?
AA mod M + B mod M = (A+B) mod M
BA*B mod M = (A mod M) * (B mod M)
CA mod M - B mod M = (A-B) mod M
D(A+C) ≡ (B+D) mod M正確答案
E(A*C) ≡ (B*D) mod M正確答案
答案與詳解
D、E
正確答案
同餘運算具備加法與乘法封閉性；而 mod 分配律等式最外層必須再 mod M 一次，否則值域不匹配而錯誤。
為什麼答案是 D、E
同餘具有加法保距性，若 A≡B 且 C≡D，則兩者相加後對 M 的同餘關係依然成立，為標準定理。
考點：模運算分配律考點：同餘加法性質考點：同餘乘法性質
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完整詳解
Pro · 無限重點 同餘運算具備加法與乘法封閉性；而 mod 分配律等式最外層必須再 mod M 一次，否則值域不匹配而錯誤。
秒殺技巧
看到同餘相加或相乘，直接選 ≡ 的選項；看到 mod 分配律，檢查最外層有沒有再 mod M，沒有就是陷阱！逐選項分析
A模運算分配律✕ 陷阱
模運算加法分配律等式右邊缺少最外層的 mod M，當兩餘數相加超過 M 時等式不成立。
B模運算分配律✕ 陷阱
模運算乘法分配律等式右邊同樣缺少最外層的 mod M，兩餘數相乘極易超過 M 導致等式失敗。
C模運算分配律✕ 陷阱
模運算減法分配律右邊缺少外層 mod M，且左邊相減可能產生負數，與數學上非負的 mod 結果不符。
D同餘加法性質✓ 正確
同餘具有加法保距性，若 A≡B 且 C≡D，則兩者相加後對 M 的同餘關係依然成立，為標準定理。
E同餘乘法性質✓ 正確
同餘具有乘法保距性，若 A≡B 且 C≡D，則兩者相乘後對 M 的同餘關係依然成立，為標準定理。
同餘關係 vs 模運算分配律
| 運算型別 | 正確數學表示式 | 常見錯誤寫法(本題陷阱) |
|---|---|---|
| 加法 | (A+B) mod M = ((A mod M)+(B mod M)) mod M | A mod M + B mod M = (A+B) mod M |
| 乘法 | (A*B) mod M = ((A mod M)*(B mod M)) mod M | (A mod M)*(B mod M) = A*B mod M |
| 同餘加法 | A≡B, C≡D ⇒ (A+C)≡(B+D) mod M | 無 |
| 同餘乘法 | A≡B, C≡D ⇒ (A*C)≡(B*D) mod M | 無 |
陷阱提醒
A、B、C選項利用mod分配律概念，卻故意漏掉最外層的mod M。mod M結果必介於0到M-1，但AB右側加乘極易大於M，C可能出現負數，導致兩邊值域不匹配！