設 $f(x)$ 為四次實係數多項式，且 $f(x)$ 的一些取值如下表所示：有關方程式 $f(x) = 0$ 的 4 個根所在的數系，選出正確的選項： x 0 1 2 3 f(x) 2 -1 1 -3 4 實根

Question

設 $f(x)$ 為四次實係數多項式，且 $f(x)$ 的一些取值如下表所示：有關方程式 $f(x) = 0$ 的 4 個根所在的數系，選出正確的選項：
x 0 1 2 3
f(x) 2 -1 1 -3
4 實根
(A) 4 實根
(B) 3 實根 1 虛根
(C) 2 實根 2 虛根
(D) 1 實根 3 虛根

Accepted Answer

正確答案為 A。 利用勘根定理找出至少三個實根，再搭配實係數多項式虛根成對定理，推斷必有四個實根。 (A) 由勘根定理可知在 (0,1)、(1,2)、(2,3) 各至少有一實根，共至少 3 個實根；因實係數多項式虛根成對，故不可能有 1 個虛根，必為 4 個實根。 (B) 實係數多項式方程式的虛根必定成對出現，不可能出現 3 實根 1 虛根的情況。

設 $f (x)$ 為四次實係數多項式，且 $f (x)$ 的一些取值如下表所示：有關方程式 $f (x) = 0$ 的 4 個根所在的數系，選出正確的選項： x 0 1 2 3 f(x) 2 -1 1 -3 4 實根

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