102 年 · 數學專門科目（中區聯盟） 試題與解答

下列敘述對費馬最後定理，何者為非？

設函數f(x)＝(10ˣ＋5)/(10ˣ－5)的反函數f⁻¹(x)，則f⁻¹(3)的值為？

指數方程式3^(4x－1)＝2^(4x)＋16^(x－3/4)，解x＝b/a，若b/a為一最簡分數且a＞0，則a＋b＝？

試求多項式p(x)＝x⁴＋4x³－8x＋3所有整數根之和？

在幾何學上對於一個擁有F個面、V個頂角和E條稜邊的單連通多面體，我們可以導出公式F－E＋V＝2。此公式以哪位數學家為名？

假設A是一3×3方陣，使得A[1 0 0; 2 4 0; 3 0 9]＝[1 0 0; 1 2 0; 1 0 3]，則方陣A對角…

設z為一複數，|z－2i|＋|z＋4i|≤10之解集合在複數平面上的圖形面積為？

如果現在有一個遊戲為擲一個公正銅板，如果擲出正面，你便會得到報酬1元，這樣遊戲便結束了。如果是反面就必須繼續擲，一直到第一次正面…

設S＝1²＋2²＋3²＋…＋98²＋99²＋100²，則S的十位數字為？

設A、B為平面3x＋4y＋5z＝4上相異的兩點，且向量AB＝(a,b,c)。則3a＋4b＋5c＋1＝？

四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝3、BC＝4、CD＝5，則四邊形的面積為？

關於圓周率π是無理數，下面哪個敘述較為正確？

設a為常數。若線性方程組x＋2y＋3z＝0、2x－y－z＝0、5x－y＋az＝0無解，則a＝？

若向量|a|＝|b|＝|a－b|，則向量a、b之夾角為？

11¹³除以9的餘數為？

複數平面中單位圓上的相異兩點z₁、z₂滿足方程式(z＋1/z)¹⁰＝3⁵，則z₁＋z₂＝？

4個相同的球任意放入5個編號1號到5號的箱子中，則1到4號箱中每箱恰有一個機率為？

若θ為銳角，且3cos²θ＝8sinθ，則1/(1－sinθ)－1/(1＋sinθ)＝？

試問有幾個直角三角形滿足以下條件：三邊的長皆為整數且有兩邊的長度剛好差1？

在正20邊形中，連接其所有對角線，則此圖形中，以對角線為三邊所圍成的三角形共有多少個？

求兩直線3x＋4y＝0與6x＋8y＝3的距離。

2¹¹⁷除以117所得的餘數為何？

360的正因數個數有多少個？

已知log 2≈0.3010，試問2⁶⁴－1是幾位數？

令f(x)＝sin x，則以下何者正確？（以上角度單位為弧度）

lim（x→0⁺）(1/x－1/sin x)＝？

lim（(x,y)→(0,0)）2xy/(x²＋y²)＝？

試求曲線x＝4y－y²和x－2y＋3＝0所圍成的封閉區域之面積。

試求∫（0至＋∞）xe^(－2x) dx的值。

令γ表示圓心為(0,0)、半徑為1/4的圓，則∮γ dz/(z²＋z＋1)＝？

設A、B、C為n階方陣，O及I分別代表n×n階的零矩陣及單位矩陣，以下敘述何者正確？

A為4階的方陣，其第一行至第四行的行向量分別為[2,−1,3,5]、[0,1,0,7]、[0,0,8,2]、[0,0,0,3]，…

下列關於空間的敘述何者正確？

令G為一有限群(finite group)，|G|表示集合G的元素個數，以下的敘述何者正確？

已知(x＋1)f(x)除以x³－x＋1的餘式為3x²－6，若f(x)除以x³－x＋1的餘式為ax²＋b，求2a＋b＝？

設a、b均為實數，求a²＋9b²＋(a＋3b－9)²之最小值為？

已知隨機變數X與Y的相關係數為－0.6，求－3X－2與2Y＋1的相關係數為何？

設f(x＋8)＝f(x)，且當－12≤x≤－5時，f(x)＝2－3x，求f(765)之值為？

已知甲手上有硬幣10元1枚、5元2枚、1元2枚、5角4枚，試問可組成多少種不同的款額？

(1/x＋x³)¹²展式中x²⁰項的係數為？

A、B、C、D四人由左至右排成一列，其中A排在B之左邊或A排在C之左邊的機率為？

已知二直線2x＋y－2＝0、4x－y－1＝0與拋物線y＝ax²＋b均相切，求3a－2b之值為？

甲在昨天以前已考了幾次數學，得到平均分數為82分。若今天考本學期最後一次考試而得分數為98分，因此本學期甲的數學考試分數平均為8…

若0＜sinθ－cosθ＜1且cosθ√(sec²θ－1)＞0，則θ在第幾象限？

設隨機變數X為常態分佈，且已知X～N(10,2)，求P(X≥10)之值？

設a、b、c均為正整數，已知a＋2b＋3c＝20，求滿足此種條件的數(a,b,c)共有多少種？

求1/5＋(1＋3)/5²＋…＋[1＋3＋…＋3^(n－1)]/5ⁿ＋…之值為何？

令f(x)＝nˣ＋1/nˣ，已知f(1)＝1，求f(101)＝？

在xy平面上，滿足y²≥x²且|y|≤2的圖形的面積為？

設f(x)＝(x＋2)/(x＋3)，g(x)＝(ax＋b)/(cx＋1)，若f(g(x))＝x，則a＋b＋c＝？