下列的複數函數中，何者是解析函數（Analytic function）？
Af(x, y) = x^2 - iy^2
Bf(x, y) = x - iy
Cf(x, y) = x^2 + y^2 - 2y + i(2xy - 2x)
Df(x, y) = x^2 - y^2 - 2y + i(2xy + 2x)正確答案
答案與詳解
D
正確答案
解析函式需滿足柯西-黎曼方程式，代入選項驗證偏導數即可秒解。
為什麼答案是 D
ux=2x=vy成立，且uy=-2y-2，-vx=-(2y+2)=-2y-2，uy等於-vx成立。偏導數連續且滿足C-R方程式，為解析函數。
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完整詳解
Pro · 無限重點 解析函式需滿足柯西-黎曼方程式，代入選項驗證偏導數即可秒解。
秒殺技巧
觀察選項D可化為 z^2+2iz，全純函式的組合必為解析函數，直接選D。逐選項分析
A✕
實部u=x^2，虛部v=-y^2。ux=2x，vy=-2y，ux不等於vy，不滿足柯西-黎曼方程式。
B✕
實部u=x，虛部v=-y。ux=1，vy=-1，ux不等於vy。此函數為共軛複數z_bar，處處不解析。
C✕ 陷阱
ux=2x=vy成立，但uy=2y-2，-vx=-2y+2。uy等於-vx僅在y=1時成立，非全域解析函數。
D✓ 正確
ux=2x=vy成立，且uy=-2y-2，-vx=-(2y+2)=-2y-2，uy等於-vx成立。偏導數連續且滿足C-R方程式，為解析函數。
柯西-黎曼方程式 (Cauchy-Riemann Equations) 驗證表
| 選項 | 實部 u(x,y) | 虛部 v(x,y) | ux = vy ? | uy = -vx ? | 是否解析 |
|---|---|---|---|---|---|
| A | x^2 | -y^2 | 2x ≠ -2y | 不須驗證 | 否 |
| B | x | -y | 1 ≠ -1 | 不須驗證 | 否 |
| C | x^2+y^2-2y | 2xy-2x | 2x = 2x | 2y-2 ≠ -2y+2 | 否(僅y=1) |
| D | x^2-y^2-2y | 2xy+2x | 2x = 2x | -2y-2 = -2y-2 | 是 |
陷阱提醒
選項C的偏導數在特定直線(y=1)上滿足柯西-黎曼方程式，但解析函式要求在「某個區域」內處處滿足。僅線上上滿足稱為「可微」而非「解析」，切勿混淆。