複數無窮級數 的收斂區域（Region of convergence）為何？
A$1<|z|<3$正確答案
B$\frac{1}{3}<|z|<1$
C$|z|>1$ 或 $|z|<\frac{1}{3}$
D$|z|>3$ 或 $|z|<1$
答案與詳解
A
正確答案
洛朗級數收斂域為正負冪次部分收斂域的交集，本題分別求 ∣z∣>1 與 ∣z∣<3 取交集。
為什麼答案是 A
前半部收斂條件為 ∣z∣>1，後半部收斂條件為 ∣z∣<3，兩者交集即為 1<∣z∣<3，為正確答案。
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完整詳解
Pro · 無限重點 洛朗級數收斂域為正負冪次部分收斂域的交集，本題分別求 $|z|>1$ 與 $|z|<3$ 取交集。
秒殺技巧
前半部 $1/z$ 等比級數收斂於 $|z|>1$；後半部 $z/3$ 等比級數收斂於 $|z|<3$。兩者交集即為 $1<|z|<3$。逐選項分析
A✓ 正確
前半部收斂條件為 $|z|>1$，後半部收斂條件為 $|z|<3$，兩者交集即為 $1<|z|<3$，為正確答案。
B✕ 陷阱
誤將前半部收斂條件算成 $|z|<1$，後半部算成 $|z|>1/3$，導致交集與不等式方向完全錯誤。
C✕
誤將兩部分的收斂區域取聯集而非交集，且不等式方向計算錯誤，不符合洛朗級數定義。
D✕
誤將後半部的公比算成 $3z$ 或 $z/3$ 的倒數，導致收斂條件計算錯誤，無法得出正確範圍。
洛朗級數收斂區域判斷
| 級數部分 | 級數形式 | 收斂條件 | 收斂區域 |
|---|---|---|---|
| 負冪次部分 (主部) | $\sum_{n=1}^{\infty} (1/z)^n$ | $|1/z| < 1$ | $|z| > 1$ |
| 非負冪次部分 (解析部) | $\sum_{n=0}^{\infty} (z/3)^n$ | $|z/3| < 1$ | $|z| < 3$ |
| 整體收斂區域 | 兩部分交集 | $|z|>1$ 且 $|z|<3$ | $1 < |z| < 3$ |
陷阱提醒
考生常忘記負冪次部分（主部）的收斂條件是 $|1/z|<1$ 即 $|z|>1$，容易誤記為 $|z|<1$；或將兩區域取聯集而非交集，導致選錯答案。