鐵路人員考試高員三級-電力工程工程數學112 年第 19 題單選題考點：聯合密度積分考點：邊際密度函式
令隨機變數 X,Y 的聯合機率密度函數（ Joint probability density function ）為
\[
f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}
kx(1+2y), & 0\le x\le 2,\;0<y<1,\\
0, & 其他
\end{cases}
\]
其中 k 為實數，則下列何者正確？
Ak=\dfrac{1}{2}
B邊際機率密度（ Marginal probability density function ）為 \(g(x)=\dfrac{x}{4}, 0\le x\le 2\)
C邊際機率密度（ Marginal probability density function ）為 \(h(y)=\dfrac{1+2y}{4}, 0<y<1\)
D條件機率密度（ conditional probability density function ）為 \(f(y|x)=\dfrac{1+2y}{2}, 0<y<1\)正確答案
D正確答案
利用二重積分求k=1/4，再分別對y、x積分求邊際密度，最後聯合密度除以x的邊際密度即得條件密度。
逐選項解析
Ak=\dfrac{1}{2}聯合密度積分✕ 錯誤
對聯合密度函數作二重積分應等於1，計算可得 4k=1，故 k=1/4，而非 1/2。
B邊際機率密度（ Marginal probability density function ）為 \(g(x)=\dfrac{x}{4}, 0\le x\le 2\)邊際密度函式✕ 錯誤
邊際密度 g(x) 需對 y 積分，∫(1/4)x(1+2y)dy 從 0 到 1，結果為 x/2，而非 x/4。
C邊際機率密度（ Marginal probability density function ）為 \(h(y)=\dfrac{1+2y}{4}, 0<y<1\)✕ 錯誤
D條件機率密度（ conditional probability density function ）為 \(f(y|x)=\dfrac{1+2y}{2}, 0<y<1\)✓ 正確
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